Determine a Transformada
e a correspondente região de convergência para os sinais a seguir:
a)
a)
Passo 1
Beleza, a questão pede para a gente achar a Transformada de Z
para o sinal
,
além de dizer a região de convergência (ROC).
Conteúdo: definição da Transformada de Z e uso da soma de série geométrica.
para o sinal
além de dizer a região de convergência (ROC).
Conteúdo: definição da Transformada de Z e uso da soma de série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o sinal
.
Por definição de função degrau:
Por definição de função degrau:
-
se , e 0 caso contrário.
Aqui é, então sempre que , ou seja, .
Logo
Passo 3
Agora aplicamos a definição da Transformada de Z:
Para somar isso, fazemos a troca de índice
. Quando
vai de
até 0,
vai de
até 0, mas invertendo a ordem podemos escrever
Isso é uma série geométrica com termo geral
. Sabemos da teoria que
Aqui
, então
válido quando
. Esse “|z|<1” é exatamente a região de convergência, pois é a condição para a série
convergir.