Determine a Transformada Z e a correspondente região de convergência para os sinais a seguir:
a) x[n]=u[-n]

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente achar a Transformada de Z

para o sinal
,
além de dizer a região de convergência (ROC).
Conteúdo: definição da Transformada de Z e uso da soma de série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o sinal x[n]= 1, & n<=0, 0, & n>0 .
Por definição de função degrau:
  • se , e 0 caso contrário.
    Aqui é , então sempre que , ou seja, .
    Logo

Passo 3

Agora aplicamos a definição da Transformada de Z:
X(z) =sumn=-infty^+inftyx[n],z^-n =sumn=-infty^01cdot z^-n
Para somar isso, fazemos a troca de índice X(z) =summ=0^+inftyz^,m . Quando summ=0^inftya^m=11-a se e somente se |a|<1 vai de X(z)=11-z, até 0, vai de até 0, mas invertendo a ordem podemos escrever
Isso é uma série geométrica com termo geral . Sabemos da teoria que
Aqui , então
válido quando . Esse “|z|<1” é exatamente a região de convergência, pois é a condição para a série convergir.

Resposta

X(z)=11-z, ROC: |z|<1

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