Determine a transformada z dos sinais dados abaixo:
x(t)=e^-0,2 t, T=0,1 s

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente encontrar a transformada em de um sinal contínuo quando ele é amostrado a cada s. Isso é conteúdo de sinais amostrados e transformada : vamos precisar
  • Saber como passar do sinal contínuo pro sinal discreto usando .
  • Conhecer a definição da transformada (soma de uma série infinita).
  • Entender como somar uma série geométrica.

Passo 2

Primeiro, amostragem. Quando a gente amostra x[n] = x(nT) = e^-0,2,(nT) a cada x[n] = e^-0,2,(ncdot 0,1) = e^-0,02,n , define-se
Como , fica
Aqui a gente já tem o sinal discreto que entra na z-transformada.

Passo 3

Agora a definição da transformada X(z) = sumn=0^infty x[n],z^-n . Para um sinal discreto X(z) = sumn=0^infty e^-0,02,n,z^-n ,
Substituindo :

Passo 4

Repare que isso é uma série geométrica. Se a gente chamar
r = e^-0,02,z^-1,
então cada termo é sumn=0^infty r^n = 11 - r, desde que |r|<1 , e a soma de X(z) = 11 - e^-0,02z^-1 até infinito é
Aqui , então:

Passo 5

Se você preferir deixar sem o X(z) = zz - e^-0,02 “fora do denominador”, multiplica numerador e denominador por :
Pronto, é isso!

Resposta

boxedX(z) = 11 - e^-0,02,z^-1;=;zz - e^-0,02,, ROC: |z|>e^-0,02

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