Um sistema MIMO é representado pelas variáveis de estado abaixo. O sistema é de estados controláveis? Justifique-se. O sistema é de estados observáveis? Justifique-se.
[l dotx1 dotx2 ]=[rr 0 & 1 0 & -1 ][l x1 x2 ]+[ll 0 & 1 1 & 1 ][l u1 u2 ] [l y1 y2 ]=[ll 0 & 1 1 & 0 ][l x1 x2 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão diz que temos um sistema MIMO de dimensão 2 (duas variáveis de estado) descrito por
dot x = A,x + B,u, y = C,x
com
A=0&10&-1, B=0&11&1, C=0&11&0
O que a gente precisa fazer:
  1. Verificar se o sistema é controlável (isto é, se consigo “dirigir” o estado todo via entradas).
  2. Verificar se é observável (se consigo “distinguir” qualquer estado olhando as saídas).
    Pra isso a gente vai usar dois testes de teoria de sistemas lineares:
  • Matriz de controlabilidade CC,AvdotsC,A^n-1 e checar .
  • Matriz de observabilidade e ver se .
    Aqui , então só precisamos de e (para controlabilidade) e de e (para observabilidade).

Passo 2

Teste de controlabilidade
  1. Primeiro montamos B=0&11&1 :
A,B =0&10&-1 0&11&1 = 0cdot0+1cdot1 & 0cdot1+1cdot1 0cdot0+(-1)cdot1 & 0cdot1+(-1)cdot1 =1&1-1&-1
  1. Calculamos
C = l[,B;;A,Br] = 0&1&1&1 1&1&-1&-1
  1. A matriz de controlabilidade é
0&11&1
  1. Para ver se , basta notar que, por exemplo, as duas primeiras colunas formam

    que tem determinante . Logo essas duas colunas já são independentes e .
    Conclusão: o sistema é controlável.

Passo 3

Teste de observabilidade
  1. Já temos

C=0&11&0
2) Calculamos
C,A =0&11&0 0&10&-1 = 0cdot0+1cdot0 & 0cdot1+1cdot(-1) 1cdot0+0cdot0 & 1cdot1+0cdot(-1) =0&-10&1
3) A matriz de observabilidade é
[
\mathcal O
= O = C[6pt] C,A = 0&1 1&0 0&-1 0&1

.
]
  1. Para basta ver que as duas primeiras linhas
    e
    são claramente independentes, então .
    Conclusão: o sistema é observável.

Resposta

O sistema é controlável e observável.

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