Um sistema MIMO é representado pelas variáveis de estado abaixo. O sistema é de estados controláveis? Justifique-se. O sistema é de estados observáveis? Justifique-se.
Passo 1
Beleza, vamos lá. A questão diz que temos um sistema MIMO de dimensão 2 (duas variáveis de estado) descrito por
com
O que a gente precisa fazer:
Verificar se o sistema é controlável (isto é, se consigo “dirigir” o estado todo via entradas).
Verificar se é observável (se consigo “distinguir” qualquer estado olhando as saídas).
Pra isso a gente vai usar dois testes de teoria de sistemas lineares:
Matriz de controlabilidade e checar .
Matriz de observabilidade e ver se .
Aqui , então só precisamos de e (para controlabilidade) e de e (para observabilidade).
Para ver se , basta notar que, por exemplo, as duas primeiras colunas formam
que tem determinante . Logo essas duas colunas já são independentes e .
Conclusão: o sistema é controlável.
Passo 3
Teste de observabilidade
Já temos
C=0&11&0
2) Calculamos C,A =0&11&0 0&10&-1 = 0cdot0+1cdot0 & 0cdot1+1cdot(-1) 1cdot0+0cdot0 & 1cdot1+0cdot(-1) =0&-10&1
3) A matriz de observabilidade é
[
\mathcal O
= O = C[6pt] C,A = 0&1 1&0 0&-1 0&1
.
]
Para basta ver que as duas primeiras linhas e
são claramente independentes, então .
Conclusão: o sistema é observável.