Se o sistema for de estados controláveis, encontrar os ganhos K que minimizam a função de custo do controlador linear quadrático com os pesos Q e R dados abaixo. O sistema é estável? Justifique-se.
Q=[ll 1 & 0 0 & 1 ] R=0,01[ll 1 & 0 0 & 1 ]

Passo 1

O enunciado pede para achar a lei de realimentação ótima
– Conteúdo: Controle Ótimo Linear – Regulador Quadrático (LQR).
– O que precisamos:
• As matrizes de estado A e de entrada B do sistema (não foram fornecidas no enunciado).
• Os pesos Q e R já dados:
Q=1&00&1, R=0,011&00&1

Passo 2

Antes de tudo, sem A e B fica impossível computar números para os ganhos K.
Então, para seguir, você deve fornecer A e B ou então a resposta só pode ser em forma simbólica.

Passo 3

Supondo que você já tenha A e B, o primeiro passo “de fato” é verificar se o par (A,B) é controlável.
– Matematicamente, constrói-se a matriz de controlabilidade
C=[,B;;AB;dots;A^n-1B,]
e checa se .
– Se não for, não dá para usar LQR de modo direto.

Passo 4

Com (A,B) controláveis, resolve-se a Equação de Riccati Algébrica (ARE):
A^T P + P A - P B R^-1 B^T P + Q = 0,
onde é simétrica e positiva definida.

Passo 5

Depois de achar K = R^-1 B^T P , calcula-se o ganho ótimo:

Resposta

Para obter numericamente é imprescindível ter as matrizes e .
Sem elas, só podemos dar a forma geral acima.

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