Se o sistema for de estados controláveis, encontrar os ganhos
que minimizam a função de custo do controlador linear quadrático com os pesos Q e R dados abaixo. O sistema é estável? Justifique-se.
Passo 1
O enunciado pede para achar a lei de realimentação ótima
– Conteúdo: Controle Ótimo Linear – Regulador Quadrático (LQR).
– O que precisamos:
• As matrizes de estado A e de entrada B do sistema (não foram fornecidas no enunciado).
• Os pesos Q e R já dados:
– Conteúdo: Controle Ótimo Linear – Regulador Quadrático (LQR).
– O que precisamos:
• As matrizes de estado A e de entrada B do sistema (não foram fornecidas no enunciado).
• Os pesos Q e R já dados:
Passo 2
Antes de tudo, sem A e B fica impossível computar números para os ganhos K.
Então, para seguir, você deve fornecer A e B ou então a resposta só pode ser em forma simbólica.
Então, para seguir, você deve fornecer A e B ou então a resposta só pode ser em forma simbólica.
Passo 3
Supondo que você já tenha A e B, o primeiro passo “de fato” é verificar se o par (A,B) é controlável.
– Matematicamente, constrói-se a matriz de controlabilidade
– Matematicamente, constrói-se a matriz de controlabilidade
e checa se
.
– Se não for, não dá para usar LQR de modo direto.
– Se não for, não dá para usar LQR de modo direto.
Passo 4
Com (A,B) controláveis, resolve-se a Equação de Riccati Algébrica (ARE):
onde
é simétrica e positiva definida.
Passo 5
Depois de achar
, calcula-se o ganho ótimo:
Resposta
Para obter
numericamente é imprescindível ter as matrizes
e
.
Sem elas, só podemos dar a forma geral acima.
Sem elas, só podemos dar a forma geral acima.