Mostrar a transformada z dada abaixo:
Z1-e^-a k T(1+a k T)=z[(1-e^-a T-a T e^-a T) z+e^-2 a T-e^-a T+a T e^-a T](z-1)(z-e^-a T)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar a transformada Z da expressão . Isso significa que vamos utilizar a matéria de Transformada Z, que é uma ferramenta usada na análise de sistemas discretos. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da Transformada Z em cada termo da expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada Z. A Transformada Z de uma sequência Zx[k] = sumk=0^infty x[k] z^-k é definida como:
Isso nos ajuda a transformar uma sequência no tempo discreto para o domínio Z, facilitando a análise e a resolução de sistemas.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada Z na expressão . Podemos separar isso em duas partes:
  1. A transformada de 1.
  2. A transformada de .

Passo 4

Vamos calcular a transformada de 1. A sequência é Z1 = sumk=0^infty 1 cdot z^-k = zz - 1 para todo . Aplicando a definição:
Isso é uma série geométrica que converge quando .

Passo 5

Agora, vamos calcular a transformada de . Podemos separar isso em duas partes também:
  1. A transformada de .
  2. A transformada de .

Passo 6

Para a transformada de Ze^-a k T = sumk=0^infty e^-a k T z^-k = zz - e^-a T , reconhecemos que é uma sequência geométrica com razão :
Novamente, isso converge quando .

Passo 7

Agora, para a transformada de Zk x[k] = z ddz X(z) , usamos a propriedade da Transformada Z que relaciona multiplicação por Za k T e^-a k T = a T z ddz ( zz - e^-a T ) no tempo com a derivada no domínio Z:
Então, aplicando isso:

Passo 8

Vamos calcular a derivada:
ddz ( zz - e^-a T ) = (z - e^-a T) cdot 1 - z cdot 1(z - e^-a T)^2 = -e^-a T(z - e^-a T)^2
Então:
Za k T e^-a k T = a T z cdot ( -e^-a T(z - e^-a T)^2 ) = -a T e^-a T z(z - e^-a T)^2

Passo 9

Agora, juntando tudo:
Z1 - e^-a k T(1 + a k T) = Z1 - Ze^-a k T(1 + a k T) = zz - 1 - ( zz - e^-a T + -a T e^-a T z(z - e^-a T)^2 )

Passo 10

Simplificando a expressão:
zz - 1 - zz - e^-a T + a T e^-a T z(z - e^-a T)^2 = z(z - e^-a T) - z(z - 1) + a T e^-a T z(z - 1)(z - e^-a T)^2 = z(z - e^-a T - z + 1) + a T e^-a T z(z - 1)(z - e^-a T)^2 = z(1 - e^-a T) + a T e^-a T z(z - 1)(z - e^-a T)^2 = z(1 - e^-a T + a T e^-a T)(z - 1)(z - e^-a T)^2

Resposta

Portanto, a transformada Z de Z1 - e^-a k T(1 + a k T) = z(1 - e^-a T + a T e^-a T)(z - 1)(z - e^-a T)^2 é:

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