Mostrar a transformada
dada abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar a transformada Z da expressão
. Isso significa que vamos utilizar a matéria de Transformada Z, que é uma ferramenta usada na análise de sistemas discretos. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da Transformada Z em cada termo da expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada Z. A Transformada Z de uma sequência
é definida como:
Isso nos ajuda a transformar uma sequência no tempo discreto para o domínio Z, facilitando a análise e a resolução de sistemas.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada Z na expressão
. Podemos separar isso em duas partes:
- A transformada de 1.
- A transformada de
.
Passo 4
Vamos calcular a transformada de 1. A sequência é
para todo
. Aplicando a definição:
Isso é uma série geométrica que converge quando
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a transformada de
. Podemos separar isso em duas partes também:
- A transformada de
. - A transformada de
.
Passo 6
Para a transformada de
, reconhecemos que é uma sequência geométrica com razão
:
Novamente, isso converge quando
.
Passo 7
Agora, para a transformada de
, usamos a propriedade da Transformada Z que relaciona multiplicação por
no tempo com a derivada no domínio Z:
Então, aplicando isso:
Passo 8
Vamos calcular a derivada:
Então:
Passo 9
Agora, juntando tudo:
Passo 10
Simplificando a expressão:
Resposta
Portanto, a transformada Z de
é: