Determine as transformadas de Fourier dos seguintes sinais
c) x(t)=t^2 e^-|t|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente achar a Transformada de Fourier do sinal
x(t) = t^2 e^-|t|
Isso faz parte de processamento de sinais (ou análise de Fourier). Pra resolver isso, a gente vai precisar de duas coisas principais:
  1. Saber a Transformada de Fourier de .
  2. Usar a propriedade que diz que multiplicar por no tempo vira derivada de segunda ordem na frequência.

Passo 2

Primeiro, lembra que a Transformada de Fourier de
f(t) = e^-|t|
é
F(omega) = integral-infty^infty e^-|t| e^-jomega t,dt = 21+omega^2
Isso é um resultado clássico (você pode ver pela integral dividida em e^-|t| long<=ftrightarrow 21+omega^2 e , mas a gente já aceita esse par:

Passo 3

Agora, a parte crucial: propriedade de derivada. Se
Ff(t) = F(omega),
então
Ft^2 f(t) = j^2 ,d^2domega^2F(omega) = -,d^2domega^2F(omega)
No nosso caso, X(omega) = Ft^2 e^-|t| = -,d^2domega^2!l(21+omega^2r) e . Logo

Passo 4

Bora derivar passo a passo:
  1. Defina G'(omega) = 2cdot(-1),(1+omega^2)^-2cdot 2omega = -4omega(1+omega^2)^2 .
  2. Primeira derivada: G''(omega) = ddomegal(-4omega(1+omega^2)^-2r) = -4l[(1+omega^2)^-2 + omegacdot(-2)(1+omega^2)^-3cdot 2omegar]
  3. Segunda derivada: G''(omega) = -4l[1(1+omega^2)^2 - 4omega^2(1+omega^2)^3r] = -4,(1+omega^2)-4omega^2(1+omega^2)^3 = -4,1-3omega^2(1+omega^2)^3 Simplificando: X(omega) = -,G''(omega) = -l(-4,1-3omega^2(1+omega^2)^3r) = 4,1-3omega^2(1+omega^2)^3
  4. Então

Resposta

boxedX(omega) = 4,(1 - 3omega^2)(1 + omega^2)^3

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