Determine as transformadas de Fourier dos seguintes sinais
d) x(t)=1j t

Passo 1

Beleza, o exercício pede a transformada de Fourier do sinal
x(t)=1j,t,
Estamos na matéria de Sinais e Sistemas, usando transformada de Fourier contínua no domínio de tempo t para frequência omega.
Para resolver, vamos precisar:
1) A transformada de Fourier de um sinal conhecido 1/t.
2) A propriedade de escala de amplitude (constante multiplicativa) na transformada.
3) Entender a função sinal (sgn) que vai aparecer no resultado.

Passo 2

Antes de cair de cabeça em 1/(j,t), vamos lembrar um par clássico de tabela:
1pi,toversetFlong<=ftrightarrow -,j,sgn(omega),,
onde
$$\mathrm{sgn}(\omega)=\begin{cases}
+1,&\omega>0,\
0,&\omega=0,\
-1,&\omega<0.
\end{cases} sgn(omega)= +1,&omega>0, 0,&omega=0, -1,&omega<0 \mathcal{F}\Big{\frac1t\Big}=-,j,\pi,\mathrm{sgn}(\omega),$$
porque basta multiplicar ambos os lados por F1t=-,j,pi,sgn(omega),, no tempo.

Passo 3

Agora, nosso sinal é
x(t)=1j,t=(1j),1t,
Pela propriedade de linearidade e de constante multiplicativa da Fourier, se
Ff(t)=F(omega),,
então
Fa,f(t)=a,F(omega)(com $a$ constante)
Aqui a=1j, então
$$\mathcal{F}\Big{\frac{1}{j,t}\Big}
=\frac1j;\mathcal{F}\Big{\frac1t\Big}
=\frac1j;\Big(-,j,\pi,\mathrm{sgn}(\omega)\Big),.$$

Passo 4

Basta simplificar o fator 1jcdot(-j):
1j;(-j) = -,jj = -1,
Então sobra
X(omega) = -,pi,sgn(omega),

Resposta

A transformada de Fourier de x(t)=1j,t é
boxedX(omega) = -,pi,sgn(omega),

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