Determine as transformadas de Fourier dos seguintes sinais
f) x(t)=t e^-|t| sen(2 t)

Passo 1

Beleza, o exercício pede a transformada de Fourier do sinal
x(t) ;=; t,e^-|t|,sin(2t)
Estamos em Transformadas de Fourier de sinais contínuos. Para resolver, a gente vai usar duas ideias principais:
  1. a definição da TF e propriedades de sinais com valor absoluto;
  2. especialmente a propriedade da derivada em frequência, que diz que ao multiplicar o sinal por no tempo, isso vira uma derivada em (ou seja, onde ).

Passo 2

Primeiro, vamos ignorar o fator g(t) ;=; e^-|t|,sin(2t) e chamar
A ideia é achar . Depois usaremos a propriedade da derivada para obter .

Passo 3

Vamos reescrever sin(2t) ;=; e^j2t-e^-j2t2j em termos de exponenciais:
g(t) = e^-|t|,e^j2t-e^-j2t2j = 12j,e^-|t|e^j2t ;-;12j,e^-|t|e^-j2t
Então
G(omega) = 12j,Fe^-|t|e^j2t ;-;12j,Fe^-|t|e^-j2t
A transformada é linear, logo

Passo 4

Sabemos que
Fe^-|t|,e^j a t = integral-infty^inftye^-|t|e^j a te^-jomega t,dt = integral-infty^inftye^-|t|e^-j(omega-a)t,dt = 21+(omega - a)^2
Isso é uma integral padrão que dá .

Passo 5

Aplicando isso aos dois termos:
Fe^-|t|e^j2t = 21+(omega-2)^2, Fe^-|t|e^-j2t = 21+(omega+2)^2
Logo
G(omega) = 12j,21+(omega-2)^2 ;-;12j,21+(omega+2)^2 = 1jl[11+(omega-2)^2-11+(omega+2)^2r]

Passo 6

Agora usamos a propriedade
Ft,g(t) ;=; j,ddomegaG(omega)
Ou seja, a transformada que queremos é
X(omega) = j,ddomegagl1jl[11+(omega-2)^2-11+(omega+2)^2r]gr
O X(omega) = ddomegal[11+(omega-2)^2-11+(omega+2)^2r] e o se cancelam, sobrando

Passo 7

Só falta derivar cada parte. Lembre que
X(omega) = -2(omega-2)l[1+(omega-2)^2r]^2 ;+;2(omega+2)l[1+(omega+2)^2r]^2
Então

Resposta

boxed X(omega) = -2(omega-2)l[1+(omega-2)^2r]^2 ;+;2(omega+2)l[1+(omega+2)^2r]^2

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