Determine as transformadas de Fourier dos seguintes sinais
f)
f)
Passo 1
Beleza, o exercício pede a transformada de Fourier do sinal
Estamos em Transformadas de Fourier de sinais contínuos. Para resolver, a gente vai usar duas ideias principais:
- a definição da TF e propriedades de sinais com valor absoluto;
- especialmente a propriedade da derivada em frequência, que diz que ao multiplicar o sinal por
no tempo, isso vira uma derivada em (ou seja, onde ).
Passo 2
Primeiro, vamos ignorar o fator
e chamar
A ideia é achar
. Depois usaremos a propriedade da derivada para obter
.
Passo 3
Vamos reescrever
em termos de exponenciais:
Então
A transformada é linear, logo
Passo 4
Sabemos que
Isso é uma integral padrão que dá
.
Passo 5
Aplicando isso aos dois termos:
Logo
Passo 6
Agora usamos a propriedade
Ou seja, a transformada que queremos é
O
e o
se cancelam, sobrando
Passo 7
Só falta derivar cada parte. Lembre que
Então
Então