Determine o valor das integrais
e) integral-infty^+infty|y(t)|^2 d t, y(t)=integral-infty^+infty 1pi beta x(t-beta) d beta, integral-infty^+infty|X(j omega)|^2 d omega=2

Passo 1

Então, a gente tem uma função
y(t)=integral-infty^+infty1pi,beta;x(t-beta),dbeta
e quer calcular a energia dela:
integral-infty^+infty|y(t)|^2,dt
Isso é um caso clássico de sinais e sistemas onde:
  • y(t) é a convolução de x(t) com ;
  • vamos usar Transformada de Fourier e o Teorema de Parseval;
  • sabemos que .

Passo 2

Primeiro, reconhece que
y(t)=x(t)*h(t), h(t)=1pi,t
Na frequência, isso vira multiplicação:
Y(jomega)=X(jomega),H(jomega)

Passo 3

Precisamos de h(t)=1pi,t. A transformada de
H(jomega)=-,j,sgn(omega),
é
|H(jomega)|^2 = |-j,sgn(omega)|^2 = 1
onde é +1 para e –1 para .
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Passo 4

Pela Fórmula de Parseval (usando a convenção
integral-infty^+infty|y(t)|^2,dt = 12piintegral-infty^+infty|Y(jomega)|^2,domega),
temos:
integral-infty^+infty|y(t)|^2,dt = 12piintegral-infty^+infty|X(jomega),H(jomega)|^2,domega = 12piintegral-infty^+infty|X(jomega)|^2,|H(jomega)|^2,domega
Como integral-infty^+infty|y(t)|^2,dt = 12pitimes 2 = 1pi e ,

Resposta

boxedintegral-infty^+infty|y(t)|^2,dt = 1pi

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