Determine
cujas transformadas de Fourier são dadas por
§)
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Passo 1
Então, o enunciado diz que a transformada de Fourier de um sinal
é
Estamos na matéria de Sinais e Sistemas, mais especificamente em Transformada de Fourier e sua inversa. Para resolver, vamos precisar:
- da fórmula da transformada inversa
- da propriedade de “sifting” (seletora) do delta de Dirac
- da identidade de Euler que liga exponenciais complexas ao cosseno
Passo 2
A primeira coisa é lembrar a fórmula da transformada de Fourier inversa, que diz:
Vamos aplicar essa definição, trocando
pela expressão dada.
Passo 3
Substituindo
na inversa, temos
Puxando o fator
pra fora da integral:
Ou seja,
Passo 4
Agora vem a mágica da propriedade do delta de Dirac:
Então
Então
Portanto
Passo 5
Por fim, reconhecemos que
Assim, nosso sinal no domínio do tempo é simplesmente