Determine x(t) cujas transformadas de Fourier são dadas por
§) X(j omega)=pi(de

Passo 1

Então, o enunciado diz que a transformada de Fourier de um sinal X(jomega)=pil[de é
Estamos na matéria de Sinais e Sistemas, mais especificamente em Transformada de Fourier e sua inversa. Para resolver, vamos precisar:
  1. da fórmula da transformada inversa
  2. da propriedade de “sifting” (seletora) do delta de Dirac
  3. da identidade de Euler que liga exponenciais complexas ao cosseno

Passo 2

A primeira coisa é lembrar a fórmula da transformada de Fourier inversa, que diz:
x(t)=12piintegral-infty^inftyX(jomega),e^jomega t,domega
Vamos aplicar essa definição, trocando pela expressão dada.

Passo 3

Substituindo x(t) =12piintegral-infty^infty pil[de na inversa, temos
x(t) =pi2piintegral-infty^infty l[de
Puxando o fator x(t)=12integral-infty^infty de pra fora da integral:
Ou seja,

Passo 4

Agora vem a mágica da propriedade do delta de Dirac:
integralde
Então
integralde
x(t)=12l[e^-jomega0t+e^jomega0tr]
Portanto

Passo 5

Por fim, reconhecemos que
cos(omega0t) =e^jomega0t+e^-jomega0t2
Assim, nosso sinal no domínio do tempo é simplesmente

Resposta

boxedx(t)=cos(omega0t)

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