Determine as transformadas de Fourier dos sinais a seguir.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a transformada de Fourier do sinal
. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O sinal é
. - O símbolo
não foi explicitamente definido no enunciado. Vou assumir a definição habitual sem normalização: . (Obs.: essa é uma escolha comum; se a sua apostila usar os resultados mudam de escala, mas aqui assumimos porque é compatível com muitos exercícios.) - A tarefa é calcular a transformada de Fourier
de (usando a convenção padrão explicada nos passos seguintes).
Passo 2
Simplificamos
usando a definição que adotamos para
. Como
temos
Ou seja, sob a nossa definição, a função a transformar é simplesmente
. (Se a sua definição de
for diferente, troque este passo conforme a definição.)
Passo 3
Relembrando a convenção de transformada de Fourier que vamos usar: para uma função
definimos
Dois fatos úteis e muito usados:
- Linearidade: a transformada de uma combinação linear é a mesma combinação linear das transformadas.
- Transformada da exponencial complexa: para
real vale (em sentido de distribuições)
onde
é a delta de Dirac. Essa identidade é padrão e pode ser vista integrando diretamente
entendida como distribuição.
Passo 4
Escrevemos
em termos de exponenciais complexas (fórmula de Euler):
Aplicando a linearidade da transformada:
Passo 5
Usando a identidade da transformada das exponenciais do Passo 3:
Substituindo em
:
Fatorando
obtemos
Podemos também escrever
, então uma forma alternativa é