Determine as transformadas de Fourier dos sinais a seguir.
g(t)=t \mathrm{Sa}(t)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a transformada de Fourier do sinal g(t)=t\,\mathrm{Sa}(t). Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O sinal é g(t)=t\,\mathrm{Sa}(t).
  • O símbolo \mathrm{Sa}(t) não foi explicitamente definido no enunciado. Vou assumir a definição habitual sem normalização: \mathrm{Sa}(t)=\dfrac{\sin t}{t}. (Obs.: essa é uma escolha comum; se a sua apostila usar \mathrm{Sa}(t)=\dfrac{\sin(\pi t)}{\pi t} os resultados mudam de escala, mas aqui assumimos \mathrm{Sa}(t)=\dfrac{\sin t}{t} porque é compatível com muitos exercícios.)
  • A tarefa é calcular a transformada de Fourier G(\omega) de g(t) (usando a convenção padrão explicada nos passos seguintes).

Passo 2

Simplificamos g(t) usando a definição que adotamos para \mathrm{Sa}(t). Como
\mathrm{Sa}(t)=\frac{\sin t}{t},
temos
g(t)=t\cdot\mathrm{Sa}(t)=t\cdot\frac{\sin t}{t}=\sin t.
Ou seja, sob a nossa definição, a função a transformar é simplesmente g(t)=\sin t. (Se a sua definição de \mathrm{Sa} for diferente, troque este passo conforme a definição.)

Passo 3

Relembrando a convenção de transformada de Fourier que vamos usar: para uma função x(t) definimos
X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Dois fatos úteis e muito usados:
  1. Linearidade: a transformada de uma combinação linear é a mesma combinação linear das transformadas.
  2. Transformada da exponencial complexa: para \omega_0 real vale (em sentido de distribuições)
\mathcal{F}\{e^{j\omega_0 t}\}(\omega)=2\pi\,\delta(\omega-\omega_0),
onde \delta é a delta de Dirac. Essa identidade é padrão e pode ser vista integrando diretamente \int e^{-j(\omega-\omega_0)t}dt entendida como distribuição.

Passo 4

Escrevemos \sin t em termos de exponenciais complexas (fórmula de Euler):
\sin t=\frac{e^{jt}-e^{-jt}}{2j}.
Aplicando a linearidade da transformada:
G(\omega)=\mathcal{F}\{\sin t\}(\omega) =\frac{1}{2j}\,\mathcal{F}\{e^{jt}\}(\omega)-\frac{1}{2j}\,\mathcal{F}\{e^{-jt}\}(\omega).

Passo 5

Usando a identidade da transformada das exponenciais do Passo 3:
\mathcal{F}\{e^{jt}\}(\omega)=2\pi\,\delta(\omega-1), \qquad \mathcal{F}\{e^{-jt}\}(\omega)=2\pi\,\delta(\omega+1).
Substituindo em G(\omega):
G(\omega)=\frac{1}{2j}\,2\pi\,\delta(\omega-1)-\frac{1}{2j}\,2\pi\,\delta(\omega+1).
Fatorando 2\pi/(2j)=\pi/j obtemos
G(\omega)=\frac{\pi}{j}\,\bigl(\delta(\omega-1)-\delta(\omega+1)\bigr).
Podemos também escrever \dfrac{\pi}{j}=-j\pi, então uma forma alternativa é
G(\omega)=-j\pi\bigl(\delta(\omega-1)-\delta(\omega+1)\bigr).

Resposta

G(\omega)=\frac{\pi}{j}\,\bigl(\delta(\omega-1)-\delta(\omega+1)\bigr)

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