Determine as transformadas de Fourier dos sinais a seguir.
g(t)=\mathrm{Sa}^{2}(t)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a transformada de Fourier do sinal g(t)=\mathrm{Sa}^{2}(t).
Informações que vamos usar (claras e explícitas):
  • Vou interpretar a notação \mathrm{Sa}(t) como \displaystyle \mathrm{Sa}(t)=\frac{\sin t}{t}. (Se você usa outra normalização, o procedimento é o mesmo; mudam apenas constantes.)
  • A transformada de Fourier que vamos usar é a convenção angular
\mathcal{F}\{x(t)\}=X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
  • Nosso objetivo é achar G(\omega)=\mathcal{F}\{g(t)\}=\mathcal{F}\{\mathrm{Sa}^2(t)\}.

Passo 2

Vamos lembrar um par básico (obtido pela inversa da transformada de uma janela retangular): considere a função retangular no domínio de frequência
\mathrm{rect}\!\left(\frac{\omega}{2a}\right)=\begin{cases}1,&|\omega|\le a,\\\ 0,&|\omega|>a.\end{cases}
A transformada inversa dessa função (pela nossa convenção) é
\frac{1}{2\pi}\int_{-a}^{a} e^{j\omega t}\,d\omega=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2\sin(at)}{t}=\frac{\sin(at)}{\pi t}.
Logo temos o par (direto)
\mathcal{F}\!\left\{\frac{\sin(at)}{\pi t}\right\}=\mathrm{rect}\!\left(\frac{\omega}{2a}\right).
Explicação curta do que isso significa: uma janela (retângulo) em frequência corresponde a um sinc em tempo; a largura do retângulo em frequência é controlada por a e aparece no argumento do seno no tempo.

Passo 3

Aplique o par do passo anterior com a=1. Assim
\mathcal{F}\!\left\{\frac{\sin t}{\pi t}\right\}=\mathrm{rect}\!\left(\frac{\omega}{2}\right),
ou seja \dfrac{\sin t}{\pi t} transforma-se na retângulo unitário suportado em |\omega|\le 1.
Como \mathrm{Sa}(t)=\dfrac{\sin t}{t}=\pi\cdot\dfrac{\sin t}{\pi t}, pela linearidade da transformada obtemos
\mathcal{F}\{\mathrm{Sa}(t)\}=\mathcal{F}\!\left\{\pi\frac{\sin t}{\pi t}\right\}=\pi\;\mathrm{rect}\!\left(\frac{\omega}{2}\right).
Comentário: aqui usamos apenas propriedade linear (constante sai da integral).

Passo 4

Queremos \mathcal{F}\{\mathrm{Sa}^2(t)\}. Use a propriedade do produto-convolução: para a nossa convenção de Fourier
\mathcal{F}\{x(t)\,y(t)\}=\frac{1}{2\pi}\,X(\omega)\ast Y(\omega),
onde (X\ast Y)(\omega)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} X(\xi)\,Y(\omega-\xi)\,d\xi.
Aplicando isso com x(t)=y(t)=\mathrm{Sa}(t) e X(\omega)=Y(\omega)=\pi\,\mathrm{rect}\!\left(\dfrac{\omega}{2}\right), obtemos
G(\omega)=\mathcal{F}\{\mathrm{Sa}^2(t)\}=\frac{1}{2\pi}\Big(\pi\,\mathrm{rect}\!\left(\frac{\cdot}{2}\right)\Big)\ast\Big(\pi\,\mathrm{rect}\!\left(\frac{\cdot}{2}\right)\Big).

Passo 5

Simplificamos as constantes:
G(\omega)=\frac{\pi^2}{2\pi}\;\Big(\mathrm{rect}\!\left(\frac{\cdot}{2}\right)\ast\mathrm{rect}\!\left(\frac{\cdot}{2}\right)\Big) =\frac{\pi}{2}\;\Big(\mathrm{rect}\!\left(\frac{\cdot}{2}\right)\ast\mathrm{rect}\!\left(\frac{\cdot}{2}\right)\Big).
Agora calculamos a convolução de duas retângulos idênticas. Pela definição,
\big(\mathrm{rect}(\tfrac{\cdot}{2})\ast\mathrm{rect}(\tfrac{\cdot}{2})\big)(\omega) =\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{rect}\!\left(\frac{\xi}{2}\right)\,\mathrm{rect}\!\left(\frac{\omega-\xi}{2}\right)\,d\xi.
As funções \mathrm{rect}(\xi/2)\) e \(\mathrm{rect}((\omega-\xi)/2)\) valem \(1\) quando, respectivamente, \(|\xi|\le 1\) e \(|\omega-\xi|\le 1\). Para um \(\omega\) fixo, a integral mede o comprimento do intervalo de \(\xi\) que satisfaz ambas as desigualdades simultaneamente. Isso só ocorre quando \(|\omega|\le 2\). Para \(|\omega|\le 2\) o comprimento desse intervalo é exatamente \(2-| \omega|\). Portanto \[\big(\mathrm{rect}(\tfrac{\cdot}{2})\ast\mathrm{rect}(\tfrac{\cdot}{2})\big)(\omega)=\begin{cases}2-|\omega|,&|\omega|\le 2,\\[6pt]0,&|\omega|>2.\end{cases}
(Geometricamente: sobreposição de dois retângulos de largura 2\] deslocados; a largura da sobreposição é \(2-| \omega|.)]

Passo 6

Multiplicando pelo fator \dfrac{\pi}{2} do passo 5, obtemos
G(\omega)=\frac{\pi}{2}\,(2-|\omega|)=\pi\left(1-\frac{|\omega|}{2}\right)\qquad\text{para }|\omega|\le 2,
e G(\omega)=0 para |\omega|>2.
Podemos escrever de forma compacta:
G(\omega)=\begin{cases} \pi\left(1-\dfrac{|\omega|}{2}\right),&|\omega|\le 2,\\[6pt] 0,&|\omega|>2. \end{cases}]

Resposta

G(\omega)=\begin{cases} \pi\left(1-\dfrac{|\omega|}{2}\right),&|\omega|\le 2,\\[6pt] 0,&|\omega|>2. \end{cases}]

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