Determine as transformadas de Fourier dos sinais a seguir.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a transformada de Fourier do sinal
.
Informações que vamos usar (claras e explícitas):
Informações que vamos usar (claras e explícitas):
- Vou interpretar a notação
como . (Se você usa outra normalização, o procedimento é o mesmo; mudam apenas constantes.) - A transformada de Fourier que vamos usar é a convenção angular
- Nosso objetivo é achar
.
Passo 2
Vamos lembrar um par básico (obtido pela inversa da transformada de uma janela retangular): considere a função retangular no domínio de frequência
A transformada inversa dessa função (pela nossa convenção) é
Logo temos o par (direto)
Explicação curta do que isso significa: uma janela (retângulo) em frequência corresponde a um sinc em tempo; a largura do retângulo em frequência é controlada por
e aparece no argumento do seno no tempo.
Passo 3
Aplique o par do passo anterior com
. Assim
ou seja
transforma-se na retângulo unitário suportado em
.
Como
, pela linearidade da transformada obtemos
Comentário: aqui usamos apenas propriedade linear (constante sai da integral).
Passo 4
Queremos
. Use a propriedade do produto-convolução: para a nossa convenção de Fourier
onde
.
Aplicando isso com e
, obtemos
Aplicando isso com
Passo 5
Simplificamos as constantes:
Agora calculamos a convolução de duas retângulos idênticas. Pela definição,
As funções
(Geometricamente: sobreposição de dois retângulos de largura
.)]
Passo 6
Multiplicando pelo fator
do passo 5, obtemos
e
para
.
Podemos escrever de forma compacta: