Determine a Transformada de Fourier do sinal x(t)=\frac{1}{\pi t} * \mathrm{Sa}(\pi t).

Passo 1

O enunciado pede a Transformada de Fourier do sinal x(t)=\dfrac{1}{\pi t} * \mathrm{Sa}(\pi t).
Informações fornecidas e o que precisamos obter:
  • O sinal é a convolução em tempo de h(t)=\dfrac{1}{\pi t} com s(t)=\mathrm{Sa}(\pi t).
  • A tarefa é encontrar X(\omega)=\mathcal{F}\{x(t)\}, a transformada de Fourier no domínio da frequência angular \omega.
  • Observação útil que vou usar sem perguntar: \mathrm{Sa}(\pi t)=\dfrac{\sin(\pi t)}{\pi t} (convenção usual em sinais) e a transformada será tratada no sentido de distribuições quando necessário (principal value para 1/t).

Passo 2

Vou lembrar duas propriedades fundamentais que vamos usar (sem as quais não dá para resolver rápido na prova):
  1. Teorema da convolução: a transformada de Fourier da convolução no tempo é o produto das transformadas:
\mathcal{F}\{f(t)*g(t)\}=F(\omega)\,G(\omega).
Aqui, portanto,
X(\omega)=H(\omega)\,S(\omega),
onde H(\omega)=\mathcal{F}\{h(t)\} e S(\omega)=\mathcal{F}\{s(t)\}.
  1. Definição de transformada (convenção que uso): para um sinal x(t),
X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}\,dt.
É importante porque os pares conhecidos que vou citar usam exatamente essa convenção angular.

Passo 3

Calcular S(\omega)=\mathcal{F}\{\mathrm{Sa}(\pi t)\}.
Explicação didática: existe o par clássico (com a mesma convenção acima)
\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}\quad\overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad \operatorname{rect}\!\Big(\frac{\omega}{2\pi}\Big),
onde \operatorname{rect}\!\big(\frac{\omega}{2\pi}\big) é a função retângulo centrada em zero, valendo 1 para |\omega|<\pi e 0 para |\omega|>\pi (nos pontos |\omega|=\pi podemos admitir valores convenientes, isso não afeta integrais). Raciocínio breve: a transformada inversa de um retângulo em frequência é um sinc no tempo, e a forma específica \sin(\pi t)/(\pi t) resulta exatamente do retângulo de largura 2\pi. Então
S(\omega)=\operatorname{rect}\!\Big(\frac{\omega}{2\pi}\Big)= \begin{cases} 1, & |\omega|<\pi,\\[4pt] 0, & |\omega|>\pi. \end{cases}]

Passo 4

Calcular [H(\omega)=\mathcal{F}{\dfrac{1}{\pi t}}).
Explicação didática: a transformada da função 1/t existe só no sentido de valor principal (principal value). Há um resultado clássico (obtido por integração de contorno ou tabelas) que diz
\operatorname{p.v.}\!\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-j\omega t}}{t}\,dt=-j\pi\,\operatorname{sgn}(\omega),
onde \operatorname{sgn}(\omega) é a função sinal:
\operatorname{sgn}(\omega)= \begin{cases} 1, & \omega>0,\\\\ 0, & \omega=0,\\\\ -1, & \omega<0. \end{cases}
Dividindo por \pi\] (porque temos \(1/(\pi t)), obtemos diretamente
H(\omega)=\mathcal{F}\Big\{\frac{1}{\pi t}\Big\}=-j\,\operatorname{sgn}(\omega).
Interpretação: 1/(\pi t) é o núcleo do transformador de Hilbert e sua FT é uma função puramente imaginária e de sinal.

Passo 5

Aplicar o teorema da convolução: multiplicamos H(\omega)\) por \(S(\omega)\): \[X(\omega)=H(\omega)\,S(\omega) = \big(-j\,\operatorname{sgn}(\omega)\big)\cdot \operatorname{rect}\!\Big(\frac{\omega}{2\pi}\Big).
Explicando em palavras: fora do intervalo |\omega|<\pi o retângulo é zero, logo X(\omega)=0 para |\omega|>\pi. Dentro de |\omega|<\pi a transformada vale -j\,\operatorname{sgn}(\omega). Assim podemos escrever de forma peça‑por‑peça:
X(\omega)= \begin{cases} +j, & -\pi<\omega<0,\\[4pt] 0, & \omega=0\\ \text{(ponto de descontinuidade, tipicamente }0\text{)},\\[4pt] -j, & 0<\omega<\pi,\\[4pt] 0, & |\omega|>\pi. \end{cases}
(Observação didática: -j\,\operatorname{sgn}(\omega)\] dá \(+j para \omega<0 e -j para \omega>0. No ponto \omega=0 a \operatorname{sgn} costuma ser tomada 0, então X(0)=0. Nos pontos exatamente \omega=\pm\pi o valor pode ser tratado por continuidade ou como valor médio; isso não altera uso prático em problemas de prova.)]

Passo 6

Resumo e interpretação física (rápida, pra fixar): a convolução com 1/(\pi t) corresponde no domínio da frequência à multiplicação por -j\,\operatorname{sgn}(\omega), ou seja, à aplicação do operador de Hilbert ao espectro do sinal \mathrm{Sa}(\pi t). Como \mathrm{Sa}(\pi t) tem espectro retangular restrito a |\omega|<\pi, o resultado é um retângulo em |\omega|<\pi mas com fase de -\pi/2 para componentes positivas ( -j) e de +\pi/2 para componentes negativas ( +j).

Resposta

X(\omega)=-j\,\operatorname{sgn}(\omega)\,\operatorname{rect}\!\Big(\frac{\omega}{2\pi}\Big)
ou, explicitamente,
X(\omega)= \begin{cases} +j, & -\pi<\omega<0,\\[4pt] 0, & \omega=0,\\[4pt] -j, & 0<\omega<\pi,\\[4pt] 0, & |\omega|>\pi. \end{cases}]

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