Determine a Transformada de Fourier do sinal x(t)=\frac{1}{\pi t} * \mathrm{Sa}(\pi t).
Passo 1
O enunciado pede a Transformada de Fourier do sinal x(t)=\dfrac{1}{\pi t} * \mathrm{Sa}(\pi t).
Informações fornecidas e o que precisamos obter:
O sinal é a convolução em tempo de h(t)=\dfrac{1}{\pi t} com s(t)=\mathrm{Sa}(\pi t).
A tarefa é encontrar X(\omega)=\mathcal{F}\{x(t)\}, a transformada de Fourier no domínio da frequência angular \omega.
Observação útil que vou usar sem perguntar: \mathrm{Sa}(\pi t)=\dfrac{\sin(\pi t)}{\pi t} (convenção usual em sinais) e a transformada será tratada no sentido de distribuições quando necessário (principal value para 1/t).
Passo 2
Vou lembrar duas propriedades fundamentais que vamos usar (sem as quais não dá para resolver rápido na prova):
Teorema da convolução: a transformada de Fourier da convolução no tempo é o produto das transformadas:
\mathcal{F}\{f(t)*g(t)\}=F(\omega)\,G(\omega).
Aqui, portanto,
X(\omega)=H(\omega)\,S(\omega),
onde H(\omega)=\mathcal{F}\{h(t)\} e S(\omega)=\mathcal{F}\{s(t)\}.
Definição de transformada (convenção que uso): para um sinal x(t),
onde \operatorname{rect}\!\big(\frac{\omega}{2\pi}\big) é a função retângulo centrada em zero, valendo 1 para |\omega|<\pi e 0 para |\omega|>\pi (nos pontos |\omega|=\pi podemos admitir valores convenientes, isso não afeta integrais). Raciocínio breve: a transformada inversa de um retângulo em frequência é um sinc no tempo, e a forma específica \sin(\pi t)/(\pi t) resulta exatamente do retângulo de largura 2\pi. Então
Explicação didática: a transformada da função 1/t existe só no sentido de valor principal (principal value). Há um resultado clássico (obtido por integração de contorno ou tabelas) que diz
Interpretação: 1/(\pi t) é o núcleo do transformador de Hilbert e sua FT é uma função puramente imaginária e de sinal.
Passo 5
Aplicar o teorema da convolução: multiplicamos H(\omega)\) por \(S(\omega)\):
\[X(\omega)=H(\omega)\,S(\omega) = \big(-j\,\operatorname{sgn}(\omega)\big)\cdot \operatorname{rect}\!\Big(\frac{\omega}{2\pi}\Big).
Explicando em palavras: fora do intervalo |\omega|<\pi o retângulo é zero, logo X(\omega)=0 para |\omega|>\pi. Dentro de |\omega|<\pi a transformada vale -j\,\operatorname{sgn}(\omega). Assim podemos escrever de forma peça‑por‑peça:
(Observação didática: -j\,\operatorname{sgn}(\omega)\] dá \(+j para \omega<0 e -j para \omega>0. No ponto \omega=0 a \operatorname{sgn} costuma ser tomada 0, então X(0)=0. Nos pontos exatamente \omega=\pm\pi o valor pode ser tratado por continuidade ou como valor médio; isso não altera uso prático em problemas de prova.)]
Passo 6
Resumo e interpretação física (rápida, pra fixar): a convolução com 1/(\pi t) corresponde no domínio da frequência à multiplicação por -j\,\operatorname{sgn}(\omega), ou seja, à aplicação do operador de Hilbert ao espectro do sinal \mathrm{Sa}(\pi t). Como \mathrm{Sa}(\pi t) tem espectro retangular restrito a |\omega|<\pi, o resultado é um retângulo em |\omega|<\pi mas com fase de -\pi/2 para componentes positivas (-j) e de +\pi/2 para componentes negativas (+j).