Determine as transformadas inversas de Laplace das seguintes funções usando frações parciais:
frac{4 s+4}{s^{2}+16}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=\frac{4s+4}{s^{2}+16}.
Aqui estamos no conteúdo de transformada de Laplace inversa e usaremos frações parciais (ou, neste caso, simples separação de termos) para escrever F(s) em termos de expressões cuja transformada inversa é conhecida.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador 1 é menor que o grau do denominador 2, então não há divisão polinomial a fazer. Podemos então escrever
\frac{4s+4}{s^{2}+16} =\frac{4s}{s^{2}+16}+\frac{4}{s^{2}+16}.

Passo 3

Agora reconhecemos duas transformadas padrão:
  1. \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{s}{s^{2}+a^{2}}\bigr\}=\cos(at).
  2. \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{s^{2}+a^{2}}\bigr\}=\frac{1}{a}\sin(at).
No nosso caso a^{2}=16, logo a=4.

Passo 4

Aplicando as regras acima temos:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{4s}{s^{2}+16}\Bigr\} =4\cos(4t),
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{4}{s^{2}+16}\Bigr\} =4\cdot\frac{1}{4}\sin(4t) =\sin(4t).

Resposta

A transformada inversa de Laplace de \dfrac{4s+4}{s^{2}+16} é
4\cos(4t)+\sin(4t).

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