Determine as transformadas inversas de Laplace das seguintes funções usando frações parciais:
frac{s}{s^{2}+2 s+2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=\frac{s}{s^{2}+2s+2}.
O conteúdo envolve transformadas de Laplace, em particular o reconhecimento de formas básicas como \mathcal{L}\{e^{at}\cos bt\}=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}
e \mathcal{L}\{e^{at}\sin bt\}=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Para resolver, vamos usar a técnica de completar o quadrado e decompor em frações mais simples.

Passo 2

Começamos completando o quadrado no denominador. Note que
s^{2}+2s+2 = (s+1)^{2}+1.

Passo 3

Precisamos expressar o numerador s em termos de s+1. Observe que
s = (s+1) - 1.
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F(s) = \frac{s}{(s+1)^{2}+1} = \frac{(s+1)-1}{(s+1)^{2}+1} = \frac{s+1}{(s+1)^{2}+1} - \frac{1}{(s+1)^{2}+1}.

Passo 4

Agora usamos os pares da tabela de transformadas:
  1. \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{s+1}{(s+1)^{2}+1}\Bigr\}(t)=e^{-t}\cos t.
  2. \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{(s+1)^{2}+1}\Bigr\}(t)=e^{-t}\sin t.
    Aplicando a transformada inversa a cada termo, obtemos
f(t) = e^{-t}\cos t - e^{-t}\sin t.

Resposta

f(t)=e^{-t}(\cos t - \sin t)

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