Determine as transformadas inversas de Laplace das seguintes funções usando frações parciais:
frac{s^{2}+1}{s(s+1)^{2}}\

Passo 1

Estamos querendo encontrar a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=\frac{s^{2}+1}{s\,(s+1)^{2}}
O conteúdo principal aqui é usar frações parciais para decompor F(s) em termos cujas inversas já conhecemos. Vamos precisar das transformadas inversas básicas:
\mathcal{L}^{-1}\!\biggl[\frac{1}{s}\biggr](t)=1, \quad \mathcal{L}^{-1}\!\biggl[\frac{1}{(s+1)^{2}}\biggr](t)=t\,e^{-t}.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{s^{2}+1}{s\,(s+1)^{2}} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+1} + \frac{C}{(s+1)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por s\,(s+1)^{2} obtemos a identidade
s^{2}+1 = A\,(s+1)^{2} + B\,s\,(s+1) + C\,s.

Passo 3

Expandindo e agrupando termos em potências de s\): \[A\,(s^{2}+2s+1) + B\,(s^{2}+s) + C\,s = (A+B)\,s^{2} + (2A+B+C)\,s + A.
Comparando coeficientes com s^{2}+0\,s+1 temos o sistema
\begin{cases} A + B = 1,\\\\ 2A + B + C = 0,\\\ A = 1. \end{cases}
Da terceira equação vem A=1\]. Substituindo na primeira dá \(1+B=1\implies B=0.
Então da segunda: 2\cdot1 + 0 + C = 0\implies C=-2.

Passo 4

Substituindo A, B e C na fração parcial:
\frac{s^{2}+1}{s\,(s+1)^{2}} = \frac{1}{s} + \frac{0}{s+1} - \frac{2}{(s+1)^{2}} = \frac{1}{s} - \frac{2}{(s+1)^{2}}.
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\biggl[\frac{1}{s}\biggr](t)=1, \quad \mathcal{L}^{-1}\!\biggl[\frac{1}{(s+1)^{2}}\biggr](t)=t\,e^{-t}.
Logo
\mathcal{L}^{-1}\!\biggl[\frac{2}{(s+1)^{2}}\biggr](t) =2\,t\,e^{-t}.

Resposta

A transformada inversa é
f(t) = 1 \;-\; 2\,t\,e^{-t}.

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