Determine os três primeiros termos de cada uma das duas soluções linearmente independentes da equação diferencial
\left(2+x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+4 y=0
da solução em série de potências em torno do ponto x=0.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os três primeiros termos de cada uma das duas soluções linearmente independentes da equação diferencial
\left(2+x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+4 y=0
como séries de potências em torno do ponto x=0.
Informações dadas:
  • A equação diferencial linear de segunda ordem é \left(2+x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+4 y=0.
  • Queremos duas soluções linearmente independentes desenvolvidas em série de potências centrada em x=0.
  • Para cada solução, devem ser apresentados os três primeiros termos (ou seja, três primeiros termos não nulos da série).

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicação didática e escolha):
  • Para resolver por séries, suponha uma solução na forma de série de potências em torno de x=0:
y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são coeficientes a determinar.
  • Antes de aplicar a série, verificar se x=0 é um ponto ordinário: isso é verdade se o coeficiente do termo y'' (aqui 2+x^2) é não nulo em x=0. Como 2+0^2=2\neq0, x=0 é ponto ordinário, então podemos usar desenvolvimento em série de potências (não é necessário usar Frobenius).
  • Em um ponto ordinário, a equação admite duas soluções em potências de x: uma par (começando em a_0) e outra ímpar (começando em a_1 x). Vamos obter uma relação de recorrência para calcular os coeficientes a_n e daí os primeiros termos.

Passo 3

Escrever a série e suas derivadas (passo-a-passo):
Assuma
y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.
As derivadas são
y'=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}, \qquad y''=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}.
Agora multiplique pelos coeficientes da equação:
  • Primeiro termo: \left(2+x^{2}\right)y'' = 2y'' + x^2 y''. Logo
2y'' = 2\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}, \qquad x^2 y'' = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n}.
  • Segundo termo: -x y' = -x \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = -\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n}.
  • Terceiro termo: 4y = 4\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n}.

Passo 4

Colocar tudo em potências x^n e obter a relação de recorrência:
Primeiro, reindexar 2y'' para obter potências x^n. No termo 2\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}, troque n\mapsto n+2 para que a potência fique x^n:
2y'' = 2\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}.
Os outros termos já estão em potências x^n:
x^2 y'' = \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n},
-x y' = -\sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^{n}, \qquad 4y = 4\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n}.
Somando todos e impondo que a soma seja zero para toda x, obtemos, para cada n\ge0,
2(n+2)(n+1) a_{n+2} + n(n-1)a_n - n a_n + 4 a_n = 0.
Simplificando o coeficiente de a_n: n(n-1)-n = n(n-2). Assim a relação de recorrência fica
2(n+2)(n+1) a_{n+2} + \bigl(n(n-2)+4\bigr) a_n = 0.
Isolando a_{n+2},
a_{n+2} = -\dfrac{n(n-2)+4}{2(n+2)(n+1)}\, a_n,\qquad n\ge0.

Passo 5

Interpretação da recorrência e independência das soluções:
  • A recorrência liga a_{n+2} a a_n. Portanto há duas sequências independentes de coeficientes: uma determinada por a_0 (os termos de índice par) e outra por a_1 (os termos de índice ímpar). Essas duas escolhas produzem as duas soluções linearmente independentes.
  • Vamos agora calcular explicitamente os primeiros coeficientes para cada caso (par e ímpar), até obter três termos não nulos em cada série.

Passo 6

Cálculo dos coeficientes da solução par (começando por a_0):
  • Para n=0,
a_2 = -\dfrac{0(0-2)+4}{2\cdot2\cdot1}\,a_0 = -\dfrac{4}{4}a_0 = -a_0.
  • Para n=2,
a_4 = -\dfrac{2(2-2)+4}{2\cdot4\cdot3}\,a_2 = -\dfrac{0+4}{24}a_2 = -\dfrac{4}{24}a_2 = -\dfrac{1}{6}a_2.
Substituindo a_2=-a_0,
a_4 = -\dfrac{1}{6}(-a_0)=\dfrac{1}{6}a_0.
Assim os primeiros três coeficientes pares são a_0,\;a_2=-a_0,\;a_4=\dfrac{1}{6}a_0. A solução associada (escolhendo a_0=1 para obter uma forma canônica) é
y_{1}(x)=1 - x^{2} + \dfrac{1}{6}x^{4} + \cdots.

Passo 7

Cálculo dos coeficientes da solução ímpar (começando por a_1):
  • Para n=1,
a_3 = -\dfrac{1(1-2)+4}{2\cdot3\cdot2}\,a_1 = -\dfrac{-1+4}{12}a_1 = -\dfrac{3}{12}a_1 = -\dfrac{1}{4}a_1.
  • Para n=3,
a_5 = -\dfrac{3(3-2)+4}{2\cdot5\cdot4}\,a_3 = -\dfrac{3\cdot1+4}{40}a_3 = -\dfrac{7}{40}a_3.
Substituindo a_3=-\dfrac{1}{4}a_1,
a_5 = -\dfrac{7}{40}\left(-\dfrac{1}{4}a_1\right)=\dfrac{7}{160}a_1.
Assim os primeiros três coeficientes ímpares são a_1,\;a_3=-\dfrac{1}{4}a_1,\;a_5=\dfrac{7}{160}a_1. Escolhendo a_1=1 para a forma canônica, a solução é
y_{2}(x)=x - \dfrac{1}{4}x^{3} + \dfrac{7}{160}x^{5} + \cdots.

Resposta

y_{1}(x)=1 - x^{2} + \dfrac{1}{6}x^{4} + \cdots
y_{2}(x)=x - \dfrac{1}{4}x^{3} + \dfrac{7}{160}x^{5} + \cdots

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