Determine os três primeiros termos de cada uma das duas soluções linearmente independentes da equação diferencial
da solução em série de potências em torno do ponto
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os três primeiros termos de cada uma das duas soluções linearmente independentes da equação diferencial
como séries de potências em torno do ponto
.
Informações dadas:
- A equação diferencial linear de segunda ordem é
. - Queremos duas soluções linearmente independentes desenvolvidas em série de potências centrada em
. - Para cada solução, devem ser apresentados os três primeiros termos (ou seja, três primeiros termos não nulos da série).
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicação didática e escolha):
- Para resolver por séries, suponha uma solução na forma de série de potências em torno de
:
onde os
são coeficientes a determinar.
- Antes de aplicar a série, verificar se
é um ponto ordinário: isso é verdade se o coeficiente do termo (aqui ) é não nulo em . Como , é ponto ordinário, então podemos usar desenvolvimento em série de potências (não é necessário usar Frobenius). - Em um ponto ordinário, a equação admite duas soluções em potências de
: uma par (começando em ) e outra ímpar (começando em ). Vamos obter uma relação de recorrência para calcular os coeficientes e daí os primeiros termos.
Passo 3
Escrever a série e suas derivadas (passo-a-passo):
Assuma
Assuma
As derivadas são
Agora multiplique pelos coeficientes da equação:
- Primeiro termo:
. Logo
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 4
Colocar tudo em potências
e obter a relação de recorrência:
Primeiro, reindexar para obter potências
. No termo
, troque
para que a potência fique
:
Primeiro, reindexar
Os outros termos já estão em potências
:
Somando todos e impondo que a soma seja zero para toda
, obtemos, para cada
,
Simplificando o coeficiente de
:
. Assim a relação de recorrência fica
Isolando
,
Passo 5
Interpretação da recorrência e independência das soluções:
- A recorrência liga
a . Portanto há duas sequências independentes de coeficientes: uma determinada por (os termos de índice par) e outra por (os termos de índice ímpar). Essas duas escolhas produzem as duas soluções linearmente independentes. - Vamos agora calcular explicitamente os primeiros coeficientes para cada caso (par e ímpar), até obter três termos não nulos em cada série.
Passo 6
Cálculo dos coeficientes da solução par (começando por
):
- Para
,
- Para
,
Substituindo
,
Assim os primeiros três coeficientes pares são
. A solução associada (escolhendo
para obter uma forma canônica) é
Passo 7
Cálculo dos coeficientes da solução ímpar (começando por
):
- Para
,
- Para
,
Substituindo
,
Assim os primeiros três coeficientes ímpares são
. Escolhendo
para a forma canônica, a solução é