Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=e^{-x} \cos ^{3} x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não-homogênea
y''+2y'+2y=e^{-x}\cos^{3}x.
Informações dadas:
  • A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo é e^{-x}\cos^{3}x.
    Pergunta: determinar a solução geral y(x) (ou seja, a solução geral da homogênea somada a uma solução particular).

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y''+2y'+2y=0.
Formamos a equação característica \;r^{2}+2r+2=0\;. Calculando as raízes:
r=\frac{-2\pm\sqrt{4-8}}{2}=-1\pm i.
Como as raízes são -1\pm i, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=e^{-x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Explicação curta (para lembrar): as soluções são e^{\operatorname{Re}(r)x}\cos(\operatorname{Im}(r)x) e e^{\operatorname{Re}(r)x)\sin(\operatorname{Im}(r)x)} quando as raízes são complexas conjugadas.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular y_{p} do problema completo, note que o termo à direita tem fator e^{-x}. Fazemos a substituição prática
y(x)=e^{-x}u(x),
com u função desconhecida. Vamos calcular y',y'' em termos de u para ver como a equação se transforma.
Cálculo dos derivados:
y'=e^{-x}(u'-u), \qquad y''=e^{-x}(u''-2u'+u).
Substituindo em y''+2y'+2y obtemos (colocando e^{-x} em evidência)
y''+2y'+2y = e^{-x}\big(u''-2u'+u + 2u' -2u + 2u\big) = e^{-x}\big(u''+u\big).
Logo a equação original transforma-se em
e^{-x}\big(u''+u\big)=e^{-x}\cos^{3}x.
Cancelando e^{-x} (válido para todo x):
u''+u=\cos^{3}x.
Comentário: essa substituição é muito útil porque transforma a equação com coeficientes constantes em outra com o mesmo tipo mas cujo lado direito perdeu o fator exponencial. Também evita complicações de ressonância se tratássemos diretamente.

Passo 4

Simplificamos o lado direito usando a identidade trigonométrica para \cos^{3}x:
\cos^{3}x=\frac{1}{4}\big(3\cos x+\cos 3x\big).
Portanto a equação para u fica
u''+u=\frac{1}{4}\big(3\cos x+\cos 3x\big).

Passo 5

Resolvemos a equação linear para u. A homogênea associada é
u''+u=0,
cuja solução geral é
u_{h}(x)=A\cos x + B\sin x,
com constantes A,B.
Agora procuramos uma solução particular u_{p} para o lado direito composto por \cos x e \cos 3x. Trataremos cada termo separadamente e somaremos as soluções particulares.
  • Para o termo \dfrac{3}{4}\cos x: há ressonância porque \cos x é solução da homogênea de u. Então tentamos uma forma multiplicada por x:
u_{p1}(x)=x\big(C\cos x + D\sin x\big).
Calculamos u_{p1}''+u_{p1}. Seja w(x)=x(C\cos x + D\sin x). Uma conta direta (detalhada abaixo) fornece
w''+w = -2C\sin x + 2D\cos x.
(Determinando: derivando w e reduzindo os termos, os termos com x se cancelam e sobra essa combinação.)
Queremos que w''+w seja igual a \dfrac{3}{4}\cos x. Assim:
-2C\sin x + 2D\cos x = \frac{3}{4}\cos x.
Igualando coeficientes:
-2C=0 \Rightarrow C=0,\qquad 2D=\frac{3}{4}\Rightarrow D=\frac{3}{8}.
Portanto
u_{p1}(x)=\frac{3}{8}\,x\sin x.
Observação sobre a conta rápida que levou a w''+w=-2C\sin x+2D\cos x: ao derivar duas vezes w=x(C\cos x + D\sin x) os termos que contêm x nas segundas derivadas cancelam com os termos de w, restando apenas termos sem x como escrito acima — é uma identidade que aparece frequentemente nesse tipo de tentativa com fator x.

Passo 6

  • Para o termo \dfrac{1}{4}\cos 3x: não há ressonância (frequência 3 diferente de 1), então tentamos
u_{p2}(x)=E\cos 3x + F\sin 3x.
Calculamos
u_{p2}''+u_{p2}=(-9E+E)\cos 3x +(-9F+F)\sin 3x = -8E\cos 3x -8F\sin 3x.
Igualando ao termo \dfrac{1}{4}\cos 3x,
-8E\cos 3x -8F\sin 3x = \frac{1}{4}\cos 3x.
Logo
-8E=\frac{1}{4}\Rightarrow E=-\frac{1}{32},\qquad -8F=0\Rightarrow F=0.
Assim
u_{p2}(x)=-\frac{1}{32}\cos 3x.

Passo 7

Somando as partes, a solução particular para u é
u_{p}(x)=u_{p1}(x)+u_{p2}(x)=\frac{3}{8}x\sin x -\frac{1}{32}\cos 3x.
A solução geral para u é então
u(x)=u_{h}(x)+u_{p}(x)=A\cos x + B\sin x + \frac{3}{8}x\sin x -\frac{1}{32}\cos 3x.
Voltando à substituição y=e^{-x}u, a solução geral da equação original é
y(x)=e^{-x}\big(A\cos x + B\sin x + \tfrac{3}{8}x\sin x -\tfrac{1}{32}\cos 3x\big).
Renomeando as constantes A,B para C_{1},C_{2} (padrão final), escrevemos a solução geral como abaixo.

Resposta

y(x)=e^{-x}\Big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + \tfrac{3}{8}x\sin x - \tfrac{1}{32}\cos 3x\Big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

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