Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não-homogênea
Informações dadas:
- A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo é
.
Pergunta: determinar a solução geral(ou seja, a solução geral da homogênea somada a uma solução particular).
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
Formamos a equação característica
. Calculando as raízes:
Como as raízes são
, a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Explicação curta (para lembrar): as soluções são
e
quando as raízes são complexas conjugadas.
Passo 3
Para encontrar uma solução particular
do problema completo, note que o termo à direita tem fator
. Fazemos a substituição prática
com
função desconhecida. Vamos calcular
em termos de
para ver como a equação se transforma.
Cálculo dos derivados:
Substituindo em
obtemos (colocando
em evidência)
Logo a equação original transforma-se em
Cancelando
(válido para todo
):
Comentário: essa substituição é muito útil porque transforma a equação com coeficientes constantes em outra com o mesmo tipo mas cujo lado direito perdeu o fator exponencial. Também evita complicações de ressonância se tratássemos diretamente.
Passo 4
Simplificamos o lado direito usando a identidade trigonométrica para
:
Portanto a equação para
fica
Passo 5
Resolvemos a equação linear para
. A homogênea associada é
cuja solução geral é
com constantes
.
Agora procuramos uma solução particular
para o lado direito composto por
e
. Trataremos cada termo separadamente e somaremos as soluções particulares.
- Para o termo
: há ressonância porque é solução da homogênea de . Então tentamos uma forma multiplicada por :
Calculamos
. Seja
. Uma conta direta (detalhada abaixo) fornece
(Determinando: derivando
e reduzindo os termos, os termos com
se cancelam e sobra essa combinação.)
Queremos que
seja igual a
. Assim:
Igualando coeficientes:
Portanto
Observação sobre a conta rápida que levou a
: ao derivar duas vezes
os termos que contêm
nas segundas derivadas cancelam com os termos de
, restando apenas termos sem
como escrito acima — é uma identidade que aparece frequentemente nesse tipo de tentativa com fator
.
Passo 6
- Para o termo
: não há ressonância (frequência diferente de ), então tentamos
Calculamos
Igualando ao termo
,
Logo
Assim
Passo 7
Somando as partes, a solução particular para
é
A solução geral para
é então
Voltando à substituição
, a solução geral da equação original é
Renomeando as constantes
para
(padrão final), escrevemos a solução geral como abaixo.
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.