Explique detalhadamente.
Estude a convergência da série: converge absolutamente ou condicionalmente ou diverge?
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(n^{\frac{1}{2}}+1\right)}{\left(3 n^{\frac{3}{2}}+7 n+6\right)}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{\tfrac12}+1}{3\,n^{\tfrac32}+7\,n+6}
e decidir se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge.
O conteúdo envolvido é teste de séries de termos positivos, em particular o teste de comparação assintótica ou comparação limite.

Passo 2

Repare que todos os termos
a_n = \frac{n^{\tfrac12}+1}{3\,n^{\tfrac32}+7\,n+6}
são estritamente positivos. Para séries de termos positivos, convergência absoluta e convergência simples coincidem. Logo basta testar a convergência de \sum a_n.

Passo 3

Analisamos o comportamento de a_n para n grande. No numerador o termo dominante é n^{1/2} e, no denominador, é 3n^{3/2}. Assim
a_n \sim \frac{n^{1/2}}{3\,n^{3/2}} = \frac{1}{3\,n}.
Portanto a série \sum a_n se comporta como \frac{1}{3}\sum \frac{1}{n}.

Passo 4

Aplicando o teste de comparação limite com a série harmônica \sum\frac1n, calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^{1/2}+1}{3n^{3/2}+7n+6}}{1/n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3/2}+n}{3n^{3/2}+7n+6} =\frac{1}{3}.
Como esse limite é finito e não nulo, \sum a_n diverge ou converge exatamente como \sum\frac1n. Mas \sum\frac1n diverge.

Passo 5

Conclusão: a série diverge. Não há convergência condicional nem absoluta, pois os termos são positivos e o teste mostrou divergência.

Resposta

A série diverge.

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