Determine as três raízes reais distintas de
.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio cúbico
e pede para determinar as três raízes reais distintas de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O polinômio é de grau
, logo tem exatamente três raízes no corpo dos complexos (contando multiplicidades). - O enunciado afirma/espera que as três raízes sejam reais e distintas (devemos encontrá‑las).
Passo 2
Estratégia básica (sem resolver ainda): para polinômios com coeficientes inteiros é útil testar raízes racionais simples usando o teste das raízes racionais: possíveis raízes racionais são da forma
, onde
divide o termo constante e
divide o coeficiente líder. Aqui o coeficiente líder é
, então os candidatos são os divisores de
:
Vou testar esses valores em
até encontrar uma raiz inteira.
Passo 3
Testando
. Calcular
:
Fazendo as contas passo a passo:
Logo
Somando na ordem:
Portanto
, o que significa que
é uma raiz de
.
Passo 4
Como
é raiz, o polinômio é divisível por
. Para reduzir o grau e encontrar as demais raízes, faço a divisão sintética (método rápido semelhante à divisão polinomial) dos coeficientes
por
:
Montagem da divisão sintética:
- Coeficientes:
. - Trazer o
inicial: escreve . - Multiplicar por
(a raiz) e somar à próxima coluna:
Procedimento:
O resto é
(confirmando divisibilidade) e os coeficientes do quociente são
, ou seja o quociente é o polinômio quadrático
Passo 5
Agora resolvo o quadrático
. Posso tentar fatorar: procuro dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Os números
e
funcionam porque
Assim
Portanto as raízes desse quadrático são
e
.
(Alternativamente, poderia usar a fórmula de Bhaskara:
que dá
e
.)
Passo 6
Reunindo tudo: a fatoração completa do polinômio é
logo as três raízes reais distintas são
.
Como verificação rápida usando relações de Viète: soma das raízes
que coincide com o coeficiente
do termo quadrático (ou seja,
), e produto
que coincide com
(com sinal alternado para grau ímpar). Isso confirma coerência.