Determine as três raízes reais distintas de f(x)=x^{3}-9 x^{2}+23 x-15.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio cúbico f(x)=x^{3}-9 x^{2}+23 x-15 e pede para determinar as três raízes reais distintas de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • O polinômio é de grau 3, logo tem exatamente três raízes no corpo dos complexos (contando multiplicidades).
  • O enunciado afirma/espera que as três raízes sejam reais e distintas (devemos encontrá‑las).

Passo 2

Estratégia básica (sem resolver ainda): para polinômios com coeficientes inteiros é útil testar raízes racionais simples usando o teste das raízes racionais: possíveis raízes racionais são da forma \pm \dfrac{d}{c}, onde d divide o termo constante e c divide o coeficiente líder. Aqui o coeficiente líder é 1, então os candidatos são os divisores de -15:
\pm 1,\\ \pm 3,\\ \pm 5,\\ \pm 15.
Vou testar esses valores em f(x) até encontrar uma raiz inteira.

Passo 3

Testando x=1. Calcular f(1):
f(1)=1^{3}-9\cdot1^{2}+23\cdot1-15.
Fazendo as contas passo a passo:
1^{3}=1,\qquad 9\cdot1^{2}=9,\qquad 23\cdot1=23.
Logo
f(1)=1-9+23-15.
Somando na ordem:
1-9=-8,\qquad -8+23=15,\qquad 15-15=0.
Portanto f(1)=0, o que significa que x=1 é uma raiz de f.

Passo 4

Como x=1 é raiz, o polinômio é divisível por (x-1). Para reduzir o grau e encontrar as demais raízes, faço a divisão sintética (método rápido semelhante à divisão polinomial) dos coeficientes 1,\,-9,\,23,\,-15 por 1:
Montagem da divisão sintética:
  • Coeficientes: 1,\\\ -9,\\\ 23,\\\ -15.
  • Trazer o 1 inicial: escreve 1.
  • Multiplicar por 1 (a raiz) e somar à próxima coluna:
Procedimento:
\begin{array}{cccc} \text{coeficientes:} & 1 & -9 & 23 & -15\\\ \text{trazer:} & & 1 & & \\\ \text{multiplicar por }1: & & 1 & -8 & 15\\\ \hline \text{resultado:} & 1 & -8 & 15 & 0 \end{array}
O resto é 0 (confirmando divisibilidade) e os coeficientes do quociente são 1,\,-8,\,15, ou seja o quociente é o polinômio quadrático
x^{2}-8x+15.

Passo 5

Agora resolvo o quadrático x^{2}-8x+15=0. Posso tentar fatorar: procuro dois números cuja soma seja -8 e cujo produto seja 15. Os números -3 e -5 funcionam porque
(-3)+(-5)=-8,\qquad (-3)\cdot(-5)=15.
Assim
x^{2}-8x+15=(x-3)(x-5).
Portanto as raízes desse quadrático são x=3 e x=5.
(Alternativamente, poderia usar a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^{2}-4\cdot1\cdot15}}{2\cdot1}=\frac{8\pm\sqrt{64-60}}{2}=\frac{8\pm2}{2},
que dá x=5 e x=3.)

Passo 6

Reunindo tudo: a fatoração completa do polinômio é
f(x)=(x-1)(x-3)(x-5),
logo as três raízes reais distintas são 1,\\\ 3,\\\ 5.
Como verificação rápida usando relações de Viète: soma das raízes 1+3+5=9 que coincide com o coeficiente - do termo quadrático (ou seja, 9), e produto 1\cdot3\cdot5=15 que coincide com 15 (com sinal alternado para grau ímpar). Isso confirma coerência.

Resposta

x=1
x=3
x=5

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