Determine as três raízes reais distintas de f(x)=x^{3}+x^{2}-2 x.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio f(x)=x^{3}+x^{2}-2x e pede para determinar as três raízes reais distintas de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • O polinômio é de grau 3 (coeficiente líder de x^{3} é diferente de zero).
  • Quer-se os valores de x tais que f(x)=0.

Passo 2

Primeira ideia prática: procurar fatores comuns em todos os termos para simplificar. Sempre que todos os termos de um polinômio têm um fator comum, é ótimo fatorar isso primeiro porque reduz o grau e facilita achar as raízes.
Aqui todos os termos têm um fator x. Então fatoramos x em evidência:
f(x)=x^{3}+x^{2}-2x = x\bigl(x^{2}+x-2\bigr).
Explicando o passo: tirar x em evidência significa dividir cada termo por x e escrever o produto. Isso é válido porque para qualquer número real x a igualdade acima vale; ao resolver f(x)=0 podemos usar a propriedade do produto nulo: se AB=0 então A=0 ou B=0.

Passo 3

Aplicando a propriedade do produto nulo a \;x\bigl(x^{2}+x-2\bigr)=0\; obtemos duas possibilidades:
  1. x=0.
  2. x^{2}+x-2=0.
A primeira raiz já encontrada é \;x=0.
Agora vamos resolver a equação quadrática \;x^{2}+x-2=0. Há duas maneiras simples; vou mostrar as duas (uma por fatoração direta e outra pela fórmula quadrática), assim você pode usar a que preferir na prova.
Método por fatoração direta: procurar dois números cujo produto seja o termo constante -2 e cuja soma seja o coeficiente de x, isto é 1. Esses números são 2 e -1, porque 2\cdot(-1)=-2 e 2+(-1)=1. Logo
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).
Assim as soluções da quadrática são x+2=0\Rightarrow x=-2 e x-1=0\Rightarrow x=1.
Método pela fórmula quadrática (confirmação): para \;ax^{2}+bx+c=0 vale
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=1, c=-2. O discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac=1^{2}-4\cdot1\cdot(-2)=1+8=9.
Portanto
x=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{-1\pm 3}{2},
que dá x=1 e x=-2, confirmando a fatoração.

Passo 4

Verificação rápida (substituir para garantir):
f(0)=0^{3}+0^{2}-2\cdot0=0,
f(1)=1^{3}+1^{2}-2\cdot1=1+1-2=0,
f(-2)=(-2)^{3}+(-2)^{2}-2\cdot(-2)=-8+4+4=0.
Portanto os três valores realmente anulam f.

Passo 5

Conclusão sobre multiplicidades e dica prática: as raízes encontradas são \;x=-2,\;x=0,\;x=1\; e cada uma aparece com multiplicidade 1 (são todas distintas). Dica para a prova: sempre verifique se há fator comum primeiro; isso reduz o trabalho e evita cálculo desnecessário.

Resposta

-2
0
1

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