Determine as três raízes reais distintas de
.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede para determinar as três raízes reais distintas de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O polinômio é de grau
(coeficiente líder de é diferente de zero). - Quer-se os valores de
tais que .
Passo 2
Primeira ideia prática: procurar fatores comuns em todos os termos para simplificar. Sempre que todos os termos de um polinômio têm um fator comum, é ótimo fatorar isso primeiro porque reduz o grau e facilita achar as raízes.
Aqui todos os termos têm um fator
. Então fatoramos
em evidência:
Explicando o passo: tirar
em evidência significa dividir cada termo por
e escrever o produto. Isso é válido porque para qualquer número real
a igualdade acima vale; ao resolver
podemos usar a propriedade do produto nulo: se
então
ou
.
Passo 3
Aplicando a propriedade do produto nulo a
obtemos duas possibilidades:
-
. -
.
A primeira raiz já encontrada é
.
Agora vamos resolver a equação quadrática
. Há duas maneiras simples; vou mostrar as duas (uma por fatoração direta e outra pela fórmula quadrática), assim você pode usar a que preferir na prova.
Método por fatoração direta: procurar dois números cujo produto seja o termo constante
e cuja soma seja o coeficiente de
, isto é
. Esses números são
e
, porque
e
. Logo
Assim as soluções da quadrática são
e
.
Método pela fórmula quadrática (confirmação): para
vale
Aqui
,
,
. O discriminante é
Portanto
que dá
e
, confirmando a fatoração.
Passo 4
Verificação rápida (substituir para garantir):
Portanto os três valores realmente anulam
.
Passo 5
Conclusão sobre multiplicidades e dica prática: as raízes encontradas são
e cada uma aparece com multiplicidade
(são todas distintas). Dica para a prova: sempre verifique se há fator comum primeiro; isso reduz o trabalho e evita cálculo desnecessário.