O vetor v=(3,-1,0,1) está no espaço \mathbb{R}^{4} gerado pelos vetores v_{1=}(2,-1,3,2), v_{2=}(-1,1,1,-3) e v_{3=}(1,1,9,-5) ?

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v=(3,-1,0,1),\qquad v_1=(2,-1,3,2),\qquad v_2=(-1,1,1,-3),\qquad v_3=(1,1,9,-5),
e pergunta se v está no espaço gerado por v_1,v_2,v_3. Ou seja, pergunta se existe uma combinação linear
a v_1 + b v_2 + c v_3 = v
para alguns escalares a,b,c\in\mathbb{R}.

Passo 2

Explicando o que isso significa (passo didático): estar no espaço gerado por v_1,v_2,v_3 quer dizer que é possível achar números reais a,b,c tais que, componente a componente,
a(2,-1,3,2)+b(-1,1,1,-3)+c(1,1,9,-5)=(3,-1,0,1).
Escrever isso componente a componente nos dá um sistema linear de quatro equações com três incógnitas a,b,c. Se esse sistema tiver solução, então v pertence ao gerador; se não tiver, então não pertence.

Passo 3

Escrevendo as quatro equações obtidas pelas componentes:
\begin{cases} 2a - b + c = 3,\\[4pt] -a + b + c = -1,\\[4pt] 3a + b + 9c = 0,\\[4pt] 2a -3b -5c = 1. \end{cases}
Vou manipular essas equações de forma elementar (adição/subtração e substituição) para procurar a,b,c.]

Passo 4

Da segunda equação isolamos b:
-a + b + c = -1\quad\Longrightarrow\quad b = -1 + a - c = a - c - 1.
Substituímos essa expressão de b na primeira equação para eliminar b:
2a - (a - c - 1) + c = 3.
Agora simplificamos a esquerda: 2a - a + c +1 + c = a + 2c +1. Assim
a + 2c + 1 = 3\quad\Longrightarrow\quad a + 2c = 2.
Dessa relação obtemos
a = 2 - 2c.
Voltando à expressão de b:
b = a - c -1 = (2 - 2c) - c - 1 = 1 - 3c.
Portanto, a partir das duas primeiras equações temos as expressões
a = 2 - 2c,\qquad b = 1 - 3c,
em termos de c.

Passo 5

Agora usamos a terceira equação para testar consistência. Substituindo a e b em
3a + b + 9c = 0,
obtemos
3(2 - 2c) + (1 - 3c) + 9c = 0.
Calculemos termo a termo: 3(2 - 2c)=6 -6c. Somando os outros termos:
6 -6c + 1 -3c + 9c = 7 + ( -6c -3c +9c) = 7 + 0\cdot c = 7.
Portanto a equação fica 7 = 0, que é uma contradição. Isso significa que não existe nenhum valor de c (nem de a,b) que satisfaça simultaneamente as três primeiras equações.

Passo 6

Comentário didático sobre a contradição: como a terceira equação não é satisfeita por nenhuma escolha de c que veio das duas primeiras, o sistema é inconsistente. Não importa que a quarta equação possa ser satisfeita (se fizermos a verificação, substituindo a=2-2c e b=1-3c na quarta equação obtemos 1=1, ou seja, a quarta não traz contradição); basta uma equação inconsistente para concluir que o sistema todo não tem solução. Logo não existem a,b,c tais que a v_1+b v_2+c v_3=v.

Resposta

\displaystyle \text{Não. O vetor }v\text{ não pertence ao espaço gerado por }v_1,v_2,v_3.ããç

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