Determine o triedro de Frenet, a curvatura, o raio de curvatura, o centro de curvatura, a torção e as componentes tangencial e normal da aceleração em um ponto qualquer das curvas abaixo.
\alpha(t)=\left(2 t, t^{2}, t^{3} / 3\right);

Passo 1

O enunciado dá a curva \alpha(t)=\left(2t,\;t^{2},\;t^{3}/3\right) e pede, em um ponto qualquer (ou seja, em função de t):
  • O triedro de Frenet: vetores unitários \mathbf{T} (tangente), \mathbf{N} (normal principal) e \mathbf{B} (binormal).
  • A curvatura \kappa.
  • O raio de curvatura \rho.
  • O centro de curvatura \mathbf{C}.
  • A torção \tau.
  • As componentes tangencial e normal da aceleração: a_T e a_N.
Informações fornecidas: a expressão \alpha(t)=\left(2t,\;t^{2},\;t^{3}/3\right). Nada mais foi dado; todas as quantidades serão expressas em função de t.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular derivadas primeiras e segundas da curva (velocidade, aceleração e terceira derivada que aparece na torção).
Calcule:
\alpha'(t)=\left(2,\;2t,\;t^{2}\right), \qquad \alpha''(t)=\left(0,\;2,\;2t\right), \qquad \alpha'''(t)=\left(0,\;0,\;2\right).
Agora a velocidade (módulo da derivada):
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{2^{2}+(2t)^{2}+(t^{2})^{2}} =\sqrt{4+4t^{2}+t^{4}}=\sqrt{(t^{2}+2)^{2}}=t^{2}+2,
pois t^{2}+2\ge0 para todo t. É ótimo quando a raiz simplifica assim — facilita todas as contas seguintes.

Passo 3

Definição e cálculo do vetor unitário tangente \mathbf{T}.
Definição: o vetor tangente unitário é
\mathbf{T}(t)=\frac{\alpha'(t)}{\|\alpha'(t)\|}.
Aplicando ao caso:
\mathbf{T}(t)=\frac{(2,\;2t,\;t^{2})}{t^{2}+2}.
Explicando rápido: \mathbf{T} aponta na direção da velocidade e tem comprimento 1. Em prova, escreva \mathbf{T}=\alpha'/\|\alpha'\| e substitua as coordenadas.

Passo 4

Cálculo da curvatura \kappa usando a fórmula vetorial prática:
\kappa(t)=\frac{\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\|}{\|\alpha'(t)\|^{3}}.
Primeiro calcule o produto vetorial \alpha'\times\alpha''. Com \alpha'=(2,2t,t^{2}) e \alpha''=(0,2,2t),
\alpha'(t)\times\alpha''(t) =\bigl(2t^{2},\;-4t,\;4\bigr).
Agora o módulo:
\|\alpha'\times\alpha''\|=\sqrt{(2t^{2})^{2}+(-4t)^{2}+4^{2}} =\sqrt{4t^{4}+16t^{2}+16} =2(t^{2}+2).
Então
\kappa(t)=\frac{2(t^{2}+2)}{(t^{2}+2)^{3}}=\frac{2}{(t^{2}+2)^{2}}.
Breve aula: essa fórmula mede “quão curva” é a trajetória no ponto; aparece o produto vetorial porque ele dá a área do paralelogramo formado por \alpha' e \alpha'', ligando a curvatura à mudança de direção da velocidade.

Passo 5

Cálculo do vetor normal principal \mathbf{N}.
Definição: \mathbf{N}=\dfrac{d\mathbf{T}/ds}{\|d\mathbf{T}/ds\|}, onde s é o parâmetro de arco. Na prática, como d/ds=(1/\|\alpha'\|)\,d/dt, calcula-se d\mathbf{T}/dt e normaliza-se.
Já temos \mathbf{T}=\dfrac{(2,2t,t^{2})}{t^{2}+2}. Calcule d\mathbf{T}/dt (fazendo a conta com regra do quociente):
\frac{d\mathbf{T}}{dt} =\frac{(-4t,\;4-2t^{2},\;4t)}{(t^{2}+2)^{2}}.
O módulo deste vetor é
\left\|\frac{d\mathbf{T}}{dt}\right\|=\frac{2}{t^{2}+2},
o que confirma que \kappa=\dfrac{\|d\mathbf{T}/dt\|}{\|\alpha'\|}=\dfrac{2/(t^{2}+2)}{t^{2}+2}=\dfrac{2}{(t^{2}+2)^{2}}, consistente com o passo anterior.
Portanto o normal unitário é
\mathbf{N}(t)=\frac{\dfrac{d\mathbf{T}}{dt}}{\left\|\dfrac{d\mathbf{T}}{dt}\right\|} =\frac{(-4t,\;4-2t^{2},\;4t)/(t^{2}+2)^{2}}{2/(t^{2}+2)} =\frac{(-2t,\;2-t^{2},\;2t)}{t^{2}+2}.
Intuição: \mathbf{N} aponta para o lado onde a curva “vira”; sua direção é a direção da derivada do vetor tangente.

Passo 6

Cálculo do binormal \mathbf{B}.
Definição: \mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N}. Uma forma alternativa e prática é normalizar \alpha'\times\alpha'':
\mathbf{B}(t)=\frac{\alpha'(t)\times\alpha''(t)}{\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\|} =\frac{(2t^{2},\,-4t,\,4)}{2(t^{2}+2)} =\frac{(t^{2},\,-2t,\,2)}{t^{2}+2}.
Verifique facilmente que \mathbf{B} tem norma 1 e é ortogonal a \mathbf{T} e \mathbf{N}.

Passo 7

Raio de curvatura \rho.
Definição: \rho=1/\kappa. Assim,
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}=\frac{(t^{2}+2)^{2}}{2}.
Interpretação: é o raio da circunferência de curvatura (círculo osculador) que melhor aproxima a curva naquele ponto.

Passo 8

Centro de curvatura \mathbf{C}.
Fórmula: \mathbf{C}(t)=\alpha(t)+\rho(t)\,\mathbf{N}(t).
Usando \alpha(t)=(2t,\;t^{2},\;t^{3}/3), \rho=(t^{2}+2)^{2}/2 e \mathbf{N}=\dfrac{(-2t,\;2-t^{2},\;2t)}{t^{2}+2}, multiplica-se \rho\mathbf{N}:
\rho\mathbf{N} =\frac{t^{2}+2}{2}\,(-2t,\;2-t^{2},\;2t) =\bigl(-t(t^{2}+2),\;\tfrac{(t^{2}+2)(2-t^{2})}{2},\;t(t^{2}+2)\bigr).
Somando com \alpha:
\mathbf{C}(t)=\Bigl(2t - t(t^{2}+2),\; t^{2}+\tfrac{(t^{2}+2)(2-t^{2})}{2},\; \tfrac{t^{3}}{3}+t(t^{2}+2)\Bigr).
Simplificando coordenadas:
\mathbf{C}(t)=\Bigl(-t^{3},\;2+t^{2}-\tfrac{t^{4}}{2},\;\tfrac{4}{3}t^{3}+2t\Bigr).
Dica de prova: mostre as simplificações passo a passo como fiz acima (multiplicar e juntar termos semelhantes).

Passo 9

Cálculo da torção \tau.
Fórmula conveniente (em termos das derivadas da curva):
\tau(t)=\frac{(\alpha'(t)\times\alpha''(t))\cdot\alpha'''(t)}{\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\|^{2}}.
Já temos \alpha'\times\alpha''=(2t^{2},-4t,4) e \alpha'''=(0,0,2). Então o produto misto (produto escalar do cruzado com a terceira derivada) é
(\alpha'\times\alpha'')\cdot\alpha'''=2t^{2}\cdot0+(-4t)\cdot0+4\cdot2=8.
O denominador é \|\alpha'\times\alpha''\|^{2}=[2(t^{2}+2)]^{2}=4(t^{2}+2)^{2}. Logo
\tau(t)=\frac{8}{4(t^{2}+2)^{2}}=\frac{2}{(t^{2}+2)^{2}}.
Observação bonita: aqui \tau(t)=\kappa(t) para toda t.

Passo 10

Componentes tangencial e normal da aceleração.
Teoria rápida:
  • A componente tangencial da aceleração é a_{T}=\dfrac{d}{dt}\|\alpha'(t)\| (derivada do módulo da velocidade).
  • A componente normal é a_{N}=\kappa\|\alpha'(t)\|^{2}.
Já calculámos \|\alpha'\|=t^{2}+2. Então
a_{T}(t)=\frac{d}{dt}(t^{2}+2)=2t.
E
a_{N}(t)=\kappa(t)\,\|\alpha'(t)\|^{2} =\frac{2}{(t^{2}+2)^{2}}\cdot (t^{2}+2)^{2}=2.
Verificação (checagem útil em prova): a aceleração \alpha''=(0,2,2t) deve decompor-se como a_{T}\mathbf{T}+a_{N}\mathbf{N}. Substituindo \mathbf{T},\mathbf{N},a_T,a_N isso dá exatamente (0,2,2t), conferindo consistência.

Resposta

\displaystyle \mathbf{T}(t)=\frac{\left(2,\;2t,\;t^{2}\right)}{t^{2}+2}
\displaystyle \mathbf{N}(t)=\frac{\left(-2t,\;2-t^{2},\;2t\right)}{t^{2}+2}
\displaystyle \mathbf{B}(t)=\frac{\left(t^{2},\;-2t,\;2\right)}{t^{2}+2}
\displaystyle \kappa(t)=\frac{2}{(t^{2}+2)^{2}}
\displaystyle \rho(t)=\frac{(t^{2}+2)^{2}}{2}
\displaystyle \mathbf{C}(t)=\Bigl(-t^{3},\;2+t^{2}-\tfrac{t^{4}}{2},\;\tfrac{4}{3}t^{3}+2t\Bigr)
\displaystyle \tau(t)=\frac{2}{(t^{2}+2)^{2}}
\displaystyle a_{T}(t)=2t
\displaystyle a_{N}(t)=2

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