Determine o triedro de Frenet, a curvatura, o raio de curvatura, o centro de curvatura, a torção e as componentes tangencial e normal da aceleração em um ponto qualquer das curvas abaixo. \alpha(t)=\left(2 t, t^{2}, t^{3} / 3\right);
Passo 1
O enunciado dá a curva \alpha(t)=\left(2t,\;t^{2},\;t^{3}/3\right) e pede, em um ponto qualquer (ou seja, em função de t):
O triedro de Frenet: vetores unitários \mathbf{T} (tangente), \mathbf{N} (normal principal) e \mathbf{B} (binormal).
A curvatura \kappa.
O raio de curvatura \rho.
O centro de curvatura \mathbf{C}.
A torção \tau.
As componentes tangencial e normal da aceleração: a_T e a_N.
Informações fornecidas: a expressão \alpha(t)=\left(2t,\;t^{2},\;t^{3}/3\right). Nada mais foi dado; todas as quantidades serão expressas em função de t.
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular derivadas primeiras e segundas da curva (velocidade, aceleração e terceira derivada que aparece na torção).
pois t^{2}+2\ge0 para todo t. É ótimo quando a raiz simplifica assim — facilita todas as contas seguintes.
Passo 3
Definição e cálculo do vetor unitário tangente \mathbf{T}.
Definição: o vetor tangente unitário é
\mathbf{T}(t)=\frac{\alpha'(t)}{\|\alpha'(t)\|}.
Aplicando ao caso:
\mathbf{T}(t)=\frac{(2,\;2t,\;t^{2})}{t^{2}+2}.
Explicando rápido: \mathbf{T} aponta na direção da velocidade e tem comprimento 1. Em prova, escreva \mathbf{T}=\alpha'/\|\alpha'\| e substitua as coordenadas.
Passo 4
Cálculo da curvatura \kappa usando a fórmula vetorial prática:
Breve aula: essa fórmula mede “quão curva” é a trajetória no ponto; aparece o produto vetorial porque ele dá a área do paralelogramo formado por \alpha' e \alpha'', ligando a curvatura à mudança de direção da velocidade.
Passo 5
Cálculo do vetor normal principal \mathbf{N}.
Definição: \mathbf{N}=\dfrac{d\mathbf{T}/ds}{\|d\mathbf{T}/ds\|}, onde s é o parâmetro de arco. Na prática, como d/ds=(1/\|\alpha'\|)\,d/dt, calcula-se d\mathbf{T}/dt e normaliza-se.
Já temos \mathbf{T}=\dfrac{(2,2t,t^{2})}{t^{2}+2}. Calcule d\mathbf{T}/dt (fazendo a conta com regra do quociente):
o que confirma que \kappa=\dfrac{\|d\mathbf{T}/dt\|}{\|\alpha'\|}=\dfrac{2/(t^{2}+2)}{t^{2}+2}=\dfrac{2}{(t^{2}+2)^{2}}, consistente com o passo anterior.
Verificação (checagem útil em prova): a aceleração \alpha''=(0,2,2t) deve decompor-se como a_{T}\mathbf{T}+a_{N}\mathbf{N}. Substituindo \mathbf{T},\mathbf{N},a_T,a_N isso dá exatamente (0,2,2t), conferindo consistência.