Determine para as tubulações abaixo: Peso Linear (em kgf/m e kN/m), Área (em cm2) e Momentos de Inércia \left(\mathrm{I}_{\mathrm{X}}, \mathrm{I}_{\mathrm{Y}}\right. e \left.\mathrm{I}_{\mathrm{P}}\right)(\mathrm{em} \mathrm{cm}^{4})) :
Linha transmitindo petróleo leve (densidade de 850 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ), composta de tubos sem costura, em aço-carbono ASTM A36 (densidade de 7850 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ), diâmetro nominal de 8 polegadas, Schedule XS (diâmetro externo de 219 mm e parede de 12,7 \mathrm{~mm} ), isolados termicamente com 50 mm de mica (densidade de 314 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ).

Passo 1

O enunciado pede que eu determine, para a tubulação descrita, o peso linear (em kgf/m e em kN/m), a(s) área(s) (em cm ^2) e os momentos de inércia \left(I_X,\;I_Y,\;I_P\right) (em cm ^4). Dados fornecidos (vou listar numéricos e unidades para não nos perder):
\begin{aligned} &\text{Densidade do petróleo: } \rho_{\text{líq}} = 850\\ \mathrm{kg/m^3} \\\ &\text{Densidade do aço (ASTM A36): } \rho_{\text{aço}} = 7850\\ \mathrm{kg/m^3} \\\ &\text{Densidade da mica (isolante): } \rho_{\text{mica}} = 314\\ \mathrm{kg/m^3} \\\ &\text{Diâmetro externo do tubo (schedule XS): } D_{\text{ext,tubo}} = 219\\ \mathrm{mm} \\\ &\text{Espessura da parede do tubo: } t = 12{,}7\\ \mathrm{mm} \\\ &\text{Espessura do isolamento (mica): } e_{\text{isol}} = 50\\ \mathrm{mm} \end{aligned}óíççâ
Observações que vou usar sem perguntar: o tubo está preenchido pelo petróleo; o isolamento cobre externamente o tubo (camada concêntrica). Vou calcular as áreas de: (a) fluido interno (núcleo), (b) seção de aço (anel), (c) seção do isolamento (anel), e também a área total externa. Em seguida calculo massa por comprimento de cada componente, somo para obter massa por comprimento total e converto para peso linear. Para momentos de inércia uso eixos que passam pelo centro (já que a seção é concêntrica, I_X=I_Y).

Passo 2

Converter dimensões para unidades convenientes (cm e m) e calcular diâmetros/raízes internas e externas:
\begin{aligned} &D_{\text{ext,tubo}} = 219\\ \mathrm{mm} = 21{,}9\\ \mathrm{cm} \\\ &t = 12{,}7\\ \mathrm{mm} = 1{,}27\\ \mathrm{cm} \\\ &D_{\text{int,tubo}} = D_{\text{ext,tubo}} - 2t = 21{,}9 - 2(1{,}27) = 19{,}36\\ \mathrm{cm} \\\ &\text{Raio externo do aço: } R_{o,\text{aço}} = \tfrac{21{,}9}{2} = 10{,}95\\ \mathrm{cm} \\\ &\text{Raio interno do aço (raio do fluido): } R_{i,\text{aço}} = \tfrac{19{,}36}{2} = 9{,}68\\ \mathrm{cm} \\\ &\text{Isolamento: espessura } e_{\text{isol}} = 50\\ \mathrm{mm} = 5{,}0\\ \mathrm{cm} \\\ &D_{\text{ext,isol}} = D_{\text{ext,tubo}} + 2e_{\text{isol}} = 21{,}9 + 2(5{,}0) = 31{,}9\\ \mathrm{cm} \\\ &\text{Raio externo do isolante: } R_{o,\text{isol}} = \tfrac{31{,}9}{2} = 15{,}95\\ \mathrm{cm} \\\ &\text{Raio interno do isolante (igual ao raio externo do aço): } R_{i,\text{isol}} = 10{,}95\\ \mathrm{cm}. \end{aligned}ççççç

Passo 3

Calcular as áreas das secções transversais (usar fórmula da área do círculo \displaystyle A=\frac{\pi}{4}D^2). Vou dar as áreas em \mathrm{cm^2} e depois convertê-las para \mathrm{m^2} quando necessário.
\begin{aligned} &A_{\text{fluido}}=\frac{\pi}{4}D_{\text{int,tubo}}^2=\frac{\pi}{4}(19{,}36)^2\\ \mathrm{cm^2} \\\ &(19{,}36)^2 = 374{,}8096 \\\ &A_{\text{fluido}}=0{,}785398\cdot 374{,}8096 \approx 294{,}17\\ \mathrm{cm^2}. \end{aligned}
Agora o anel de aço:
\begin{aligned} &A_{\text{aço}}=\frac{\pi}{4}\left(D_{\text{ext,tubo}}^2 - D_{\text{int,tubo}}^2\right) =\frac{\pi}{4}\left(21{,}9^2 - 19{,}36^2\right) \\\ &21{,}9^2 = 479{,}61,\quad 19{,}36^2 = 374{,}8096 \\\ &A_{\text{aço}}=0{,}785398\cdot(479{,}61-374{,}8096)=0{,}785398\cdot 104{,}8004 \approx 82{,}31\\ \mathrm{cm^2}. \end{aligned}çç
Anel do isolamento:
\begin{aligned} &A_{\text{isol}}=\frac{\pi}{4}\left(D_{\text{ext,isol}}^2 - D_{\text{ext,tubo}}^2\right) =\frac{\pi}{4}\left(31{,}9^2 - 21{,}9^2\right) \\\ &31{,}9^2 = 1\,017{,}61,\quad 21{,}9^2 = 479{,}61 \\\ &A_{\text{isol}}=0{,}785398\cdot(1\,017{,}61 - 479{,}61)=0{,}785398\cdot 538{,}00 \approx 422{,}54\\ \mathrm{cm^2}. \end{aligned}
Área total externa (opcional, checagem):
A_{\text{total}}=\frac{\pi}{4}D_{\text{ext,isol}}^2=0{,}785398\cdot 1\,017{,}61 \approx 799{,}02\\ \mathrm{cm^2}.
(checagem: A_{\text{total}}\approx A_{\text{fluido}}+A_{\text{aço}}+A_{\text{isol}}ç, conferindo consistência)

Passo 4

Fórmulas para momentos de inércia de círculo sólido e anel circular (eixo passando pelo centro): para um círculo sólido de diâmetro D,
I_{\text{círculo}}=\frac{\pi}{64}D^4.í
Para um anel com diâmetros externo D_o e interno D_i,
I_{\text{anel}}=\frac{\pi}{64}\left(D_o^4 - D_i^4\right).
Como todas as peças são concêntricas, os momentos de inércia das partes somam diretamente para o conjunto; além disso por simetria I_X=I_Y. O momento polar é I_P=I_X+I_Y=2I_X.
Vou calcular D^4 (em \mathrm{cm^4}) e aplicar a fórmula.
Cálculos intermediários (valores de D^4):
\begin{aligned} &D_{\text{ext,tubo}}^4 = 21{,}9^4 \approx 230\,025{,}75\\ \mathrm{cm^4} \\\ &D_{\text{int,tubo}}^4 = 19{,}36^4 \approx 140\,482{,}24\\ \mathrm{cm^4} \\\ &D_{\text{ext,isol}}^4 = 31{,}9^4 \approx 1\,035\,530{,}11\\ \mathrm{cm^4} \end{aligned}
Agora os I de cada componente:
\begin{aligned} &I_{\text{aço}}=\frac{\pi}{64}\left(21{,}9^4 - 19{,}36^4\right) \approx 0{,}049087385\cdot 89\,543{,}52 \approx 4\,395{,}46\\ \mathrm{cm^4},\\[4pt] &I_{\text{fluido}}=\frac{\pi}{64}\left(19{,}36^4\right) \approx 0{,}049087385\cdot 140\,482{,}24 \approx 6\,895{,}92\\ \mathrm{cm^4},\\[4pt] &I_{\text{isol}}=\frac{\pi}{64}\left(31{,}9^4 - 21{,}9^4\right) \approx 0{,}049087385\cdot 805\,504{,}36 \approx 39\,540{,}11\\ \mathrm{cm^4}. \end{aligned}ç
Somando para o conjunto:
\begin{aligned} &I_X = I_Y = I_{\text{aço}} + I_{\text{fluido}} + I_{\text{isol}} \\\ &\quad \approx 4\,395{,}46 + 6\,895{,}92 + 39\,540{,}11 = 50\,831{,}48\\ \mathrm{cm^4},\\[4pt] &I_P = 2I_X \approx 101\,662{,}96\\ \mathrm{cm^4}. \end{aligned}ç]

Passo 5

Calcular massas por comprimento (kg/m) a partir das áreas (convertendo \mathrm{cm^2} para \mathrm{m^2} com 1\\ \mathrm{cm^2}=10^{-4}\\ \mathrm{m^2}) e densidades:
\begin{aligned} &A_{\text{aço}}=82{,}31\\ \mathrm{cm^2}=8{,}231\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^2} \\\ &m'_{\text{aço}}=\rho_{\text{aço}}\cdot A_{\text{aço}}=7850\cdot 8{,}231\times 10^{-3}\approx 64{,}61\\ \mathrm{kg/m}. \end{aligned}çççç
Fluido:
\begin{aligned} &A_{\text{fluido}}=294{,}17\\ \mathrm{cm^2}=2{,}9417\times 10^{-2}\\ \mathrm{m^2} \\\ &m'_{\text{fluido}}=\rho_{\text{líq}}\cdot A_{\text{fluido}}=850\cdot 2{,}9417\times 10^{-2}\approx 25{,}00\\ \mathrm{kg/m}. \end{aligned}í
Isolante:
\begin{aligned} &A_{\text{isol}}=422{,}54\\ \mathrm{cm^2}=4{,}2254\times 10^{-2}\\ \mathrm{m^2} \\\ &m'_{\text{isol}}=\rho_{\text{mica}}\cdot A_{\text{isol}}=314\cdot 4{,}2254\times 10^{-2}\approx 13{,}27\\ \mathrm{kg/m}. \end{aligned}
Massa por comprimento total:
m'_{\text{total}}=m'_{\text{aço}}+m'_{\text{fluido}}+m'_{\text{isol}} \approx 64{,}61 + 25{,}00 + 13{,}27 = 102{,}88\\ \mathrm{kg/m}.ç

Passo 6

Converter massa por comprimento em peso linear nas unidades pedidas. Observação didática rápida: o valor numérico de massa por comprimento em \mathrm{kg/m} corresponde ao mesmo número em \mathrm{kgf/m} se adotarmos a aceleração da gravidade padrão (1 kg de massa pesa 1 kgf aproximadamente). Para obter kN/m usamos 1\\ \mathrm{kgf}=9{,}81\\ \mathrm{N}.
\begin{aligned} &\text{Peso linear (kgf/m)} \approx 102{,}88\\ \mathrm{kgf/m}.\\\ &\text{Peso linear (N/m)} = 102{,}88\cdot 9{,}81 \approx 1\,008{,}31\\ \mathrm{N/m}.\\\ &\text{Peso linear (kN/m)} \approx \frac{1\,008{,}31}{1000} \approx 1{,}008\\ \mathrm{kN/m}. \end{aligned}

Resposta

Peso linear =102{,}88\\ \mathrm{kgf/m} \;=\;1{,}008\\ \mathrm{kN/m}
A_{\text{aço}}=82{,}31\\ \mathrm{cm^2}ç
A_{\text{fluido}}=294{,}17\\ \mathrm{cm^2}
A_{\text{isol}}=422{,}54\\ \mathrm{cm^2}
A_{\text{total}}=799{,}02\\ \mathrm{cm^2}
I_X=I_Y=50\,831{,}48\\ \mathrm{cm^4}
I_P=101\,662{,}96\\ \mathrm{cm^4}

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