Determine para as tubulações abaixo: Peso Linear (em kgf/m e kN/m), Área (em cm2) e Momentos de Inércia \left(\mathrm{I}_{\mathrm{X}}, \mathrm{I}_{\mathrm{Y}}\right. e \left.\mathrm{I}_{\mathrm{P}}\right)(\mathrm{em} \mathrm{cm}^{4})) :
Linha transmitindo petróleo médio (densidade de 900 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ), composta de tubos sem costura, em aço-carbono ASTM A106 Grau A (densidade de 7850 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ), diâmetro nominal de 12 polegadas, Schedule standard (diâmetro externo de 324 mm e parede de 9,5 \mathrm{~mm} ), isolados termicamente com 60 mm de cortiça (densidade de 165 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ). Considere a ocorrência de teste hidrostático.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine, para a tubulação descrita, os seguintes itens:
  • Peso linear (em \mathrm{kgf/m} e em \mathrm{kN/m}).
  • Área das seções transversais (em \mathrm{cm^{2}}).
  • Momentos de inércia \mathrm{I_X}, \mathrm{I_Y} e \mathrm{I_P} (em \mathrm{cm^{4}}).
Dados fornecidos (vou listar numericamente e em unidades SI):
\begin{aligned} &\text{Diâmetro externo do tubo: } D_{\mathrm{ext}} = 324\\ \mathrm{mm} = 0{,}324\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Espessura da parede: } t = 9{,}5\\ \mathrm{mm} = 0{,}0095\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Logo, diâmetro interno do tubo: } D_{\mathrm{int}} = D_{\mathrm{ext}} - 2t = 0{,}305\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Isolamento (cortiça) com espessura: } e_{\mathrm{iso}} = 60\\ \mathrm{mm} = 0{,}06\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Diâmetro externo total (com isolamento): } D_{\mathrm{iso,ext}} = D_{\mathrm{ext}} + 2e_{\mathrm{iso}} = 0{,}444\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Densidade do aço: } \rho_{\mathrm{aço}} = 7850\\ \mathrm{kg/m^{3}},\\\ &\text{Densidade da cortiça: } \rho_{\mathrm{cortiça}} = 165\\ \mathrm{kg/m^{3}},\\\ &\text{Durante o teste hidrostático a tubulação é cheia de água: } \rho_{\mathrm{água}} \approx 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.\\\ \end{aligned}ââçâççççáçãéáá
Observações importantes (já decididas, sem perguntar nada):
  • Para o caso de teste hidrostático uso água no interior ( \rho_{\mathrm{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á) em vez do petróleo.
  • A seção é completamente concêntrica (eixos coincidentes), portanto os momentos de inércia em X e Y serão iguais e o momento polar \mathrm{I_P} será 2\mathrm{I_X}.

Passo 2

Definir as fórmulas e a estratégia:
  • Área de um anel circular (entre diâmetros D_o e D_i):
A = \frac{\pi}{4}\left(D_{o}^{2}-D_{i}^{2}\right).
  • Área de um círculo sólido de diâmetro D:
A = \frac{\pi}{4}D^{2}.
  • Momento de inércia de um anel circular (em relação ao centro, eixo X ou Y):
I = \frac{\pi}{64}\left(D_{o}^{4}-D_{i}^{4}\right).
  • Momento de inércia de um círculo sólido:
I = \frac{\pi}{64}D^{4}.
  • Massa por metro de comprimento de um componente homogêneo:
m' = \rho \cdot A\quad(\mathrm{kg/m}).
  • Peso linear em \mathrm{kgf/m}: numericamente igual à massa por metro em kg/m (uso prático: 1\\ \mathrm{kg} de massa corresponde a 1\\ \mathrm{kgf} de peso aproximadamente). Para obter \mathrm{kN/m}:
w (\mathrm{kN/m}) = \frac{m' \cdot g}{1000},\quad g=9{,}80665\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Conversões: 1\\ \mathrm{m^{2}}=10{,}000\\ \mathrm{cm^{2}} e 1\\ \mathrm{m^{4}}=10^{8}\\ \mathrm{cm^{4}}.
Vou calcular área, massa por metro e momentos de inércia para:
  1. aço (anél entre D_{\mathrm{ext}} e D_{\mathrm{int}}),
  2. cortiça (anél entre D_{\mathrm{iso,ext}} e D_{\mathrm{ext}}),
  3. fluido (círculo de diâmetro D_{\mathrm{int}}).

Passo 3

Cálculo das áreas (em \mathrm{m^{2}} e depois em \mathrm{cm^{2}}).
  • Área do aço (anel):
\begin{aligned} A_{\mathrm{aço}} &= \frac{\pi}{4}\left(D_{\mathrm{ext}}^{2}-D_{\mathrm{int}}^{2}\right)\\\ &= \frac{\pi}{4}\left(0{,}324^{2}-0{,}305^{2}\right)\\\ &= 0{,}009388\\ \mathrm{m^{2}}. \end{aligned}ç
Em \mathrm{cm^{2}}:
A_{\mathrm{aço}} = 0{,}009388\cdot 10{,}000 = 93{,}88\\ \mathrm{cm^{2}}.ç
  • Área da cortiça (anel entre 0{,}444\\ \mathrm{m} e 0{,}324\\ \mathrm{m}):
\begin{aligned} A_{\mathrm{cortiça}} &= \frac{\pi}{4}\left(0{,}444^{2}-0{,}324^{2}\right)\\\ &= 0{,}07236\\ \mathrm{m^{2}}, \end{aligned}ç
em \mathrm{cm^{2}}:
A_{\mathrm{cortiça}} = 0{,}07236\cdot 10{,}000 = 723{,}6\\ \mathrm{cm^{2}}.ç
  • Área do fluido (círculo interno, D_{\mathrm{int}}=0{,}305\\ \mathrm{m}):
\begin{aligned} A_{\mathrm{fluido}} &= \frac{\pi}{4}\,0{,}305^{2} = 0{,}073059\\ \mathrm{m^{2}}, \end{aligned}
em \mathrm{cm^{2}}:
A_{\mathrm{fluido}} = 0{,}073059\cdot 10{,}000 = 730{,}59\\ \mathrm{cm^{2}}.
  • Área total da seção (somando os três componentes):
\begin{aligned} A_{\mathrm{total}} &= A_{\mathrm{aço}}+A_{\mathrm{cortiça}}+A_{\mathrm{fluido}}\\\ &= 0{,}009388+0{,}07236+0{,}073059 = 0{,}154807\\ \mathrm{m^{2}}\\\ A_{\mathrm{total}} &= 1548{,}07\\ \mathrm{cm^{2}}. \end{aligned}çç

Passo 4

Cálculo das massas por metro e do peso linear.
  • Massa por metro do aço:
\begin{aligned} m'_{\mathrm{aço}} &= \rho_{\mathrm{aço}}\cdot A_{\mathrm{aço}} = 7850\cdot 0{,}009388\\\ &= 73{,}67\\ \mathrm{kg/m}. \end{aligned}ççç
  • Massa por metro da cortiça:
\begin{aligned} m'_{\mathrm{cortiça}} &= 165\cdot 0{,}07236 = 11{,}94\\ \mathrm{kg/m}. \end{aligned}ç
  • Massa por metro do fluido (água, teste hidrostático):
\begin{aligned} m'_{\mathrm{fluido}} &= 1000\cdot 0{,}073059 = 73{,}059\\ \mathrm{kg/m}. \end{aligned}
  • Massa total por metro:
\begin{aligned} m'_{\mathrm{total}} &= 73{,}67 + 11{,}94 + 73{,}059 = 158{,}67\\ \mathrm{kg/m}\\ (\text{aprox.}). \end{aligned}
Observação sobre \mathrm{kgf/m}: em uso prático 1\\ \mathrm{kg} de massa corresponde numericamente a 1\\ \mathrm{kgf}, então o peso linear em \mathrm{kgf/m} é numericamente igual à massa por metro (assumindo gravidade padrão). Assim:
w = 158{,}67\\ \mathrm{kgf/m}.
  • Converter para \mathrm{kN/m}:
\begin{aligned} w(\mathrm{kN/m}) &= \frac{m'_{\mathrm{total}}\cdot g}{1000} = \frac{158{,}67\cdot 9{,}80665}{1000}\\\ &= 1{,}557\\ \mathrm{kN/m}\\ (\text{aprox.}). \end{aligned}

Passo 5

Cálculo dos momentos de inércia (eixo X, eixo Y e polar) para cada componente, e soma para obter os valores da seção composta. Lembrando que, por concêntricidade, não há termos de distância (teorema dos eixos paralelos não é necessário porque os centros coincidem).
  • Momento de inércia do aço (anel entre D_{\mathrm{ext}} e D_{\mathrm{int}}):
\begin{aligned} I_{\mathrm{aço}} &= \frac{\pi}{64}\left(D_{\mathrm{ext}}^{4}-D_{\mathrm{int}}^{4}\right)\\\ &= \frac{\pi}{64}\left(0{,}324^{4}-0{,}305^{4}\right)\\\ &= 0{,}00011622\\ \mathrm{m^{4}}. \end{aligned}ç
Em \mathrm{cm^{4}} (multiplicar por 10^{8}):
I_{\mathrm{aço}} = 0{,}00011622\cdot 10^{8} = 11\,622\\ \mathrm{cm^{4}}.ç
  • Momento de inércia da cortiça (anel entre D_{\mathrm{iso,ext}}=0{,}444\\ \mathrm{m} e D_{\mathrm{ext}}=0{,}324\\ \mathrm{m}):
\begin{aligned} I_{\mathrm{cortiça}} &= \frac{\pi}{64}\left(0{,}444^{4}-0{,}324^{4}\right)\\\ &= 0{,}0013659\\ \mathrm{m^{4}} = 136\,590\\ \mathrm{cm^{4}}. \end{aligned}ç
  • Momento de inércia do fluido (círculo de D_{\mathrm{int}}=0{,}305\\ \mathrm{m}):
\begin{aligned} I_{\mathrm{fluido}} &= \frac{\pi}{64}\,0{,}305^{4} = 0{,}00042503\\ \mathrm{m^{4}}\\\ &= 42\,503\\ \mathrm{cm^{4}}. \end{aligned}
  • Soma para obter \mathrm{I_X} e \mathrm{I_Y} (são iguais):
\begin{aligned} I_{X} &= I_{Y} = I_{\mathrm{aço}}+I_{\mathrm{cortiça}}+I_{\mathrm{fluido}}\\\ &= 0{,}00011622+0{,}0013659+0{,}00042503 = 0{,}00190715\\ \mathrm{m^{4}}\\\ &= 190\,715\\ \mathrm{cm^{4}}. \end{aligned}çç
  • Momento polar \mathrm{I_P} (para seção com simetria circular):
I_{P} = I_{X}+I_{Y} = 2I_{X} = 381\,430\\ \mathrm{cm^{4}}.

Passo 6

Resumo dos valores obtidos (valores arredondados com apresentação final clara):
  • Áreas (em \mathrm{cm^{2}}):
\begin{aligned} A_{\mathrm{aço}} &= 93{,}88\\ \mathrm{cm^{2}},\\\ A_{\mathrm{cortiça}} &= 723{,}6\\ \mathrm{cm^{2}},\\\ A_{\mathrm{fluido}} &= 730{,}59\\ \mathrm{cm^{2}},\\\ A_{\mathrm{total}} &= 1548{,}07\\ \mathrm{cm^{2}}. \end{aligned}çç
  • Peso linear:
\begin{aligned} w &= 158{,}67\\ \mathrm{kgf/m},\\\ w &= 1{,}557\\ \mathrm{kN/m}. \end{aligned}
  • Momentos de inércia (em \mathrm{cm^{4}}):
\begin{aligned} I_{X} &= 190\,715\\ \mathrm{cm^{4}},\\\ I_{Y} &= 190\,715\\ \mathrm{cm^{4}},\\\ I_{P} &= 381\,430\\ \mathrm{cm^{4}}. \end{aligned}

Resposta

Peso linear: 158{,}67\\ \mathrm{kgf/m}
Peso linear: 1{,}557\\ \mathrm{kN/m}
Área do aço: 93{,}88\\ \mathrm{cm^{2}}
Área da cortiça: 723{,}6\\ \mathrm{cm^{2}}
Área do fluido: 730{,}59\\ \mathrm{cm^{2}}
Área total: 1548{,}07\\ \mathrm{cm^{2}}
\mathrm{I_X} = 190\,715\\ \mathrm{cm^{4}}
\mathrm{I_Y} = 190\,715\\ \mathrm{cm^{4}}
\mathrm{I_P} = 381\,430\\ \mathrm{cm^{4}}

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