Determine quando u e v são L D ou L I.
u=2-5 t+6 t^{2}-t^{3}, v=1-\frac{5}{2} t+3 t^{2}-\frac{1}{2} t^{3}

Passo 1

Temos as funções u(t)=2 - 5t + 6t^{2} - t^{3} v(t)=1 - \tfrac{5}{2}t + 3t^{2} - \tfrac{1}{2}t^{3}
e queremos verificar se existe uma relação não trivial
\alpha\,u(t)+\beta\,v(t)\equiv0
para todo t. O conteúdo aqui é dependência linear no espaço de polinômios de grau até 3.

Passo 2

Observamos que basta testar se um dos polinômios é múltiplo escalar do outro. Calculemos \tfrac12\,u(t):
\tfrac12\,u(t) =\tfrac12\bigl(2 -5t +6t^{2} -t^{3}\bigr) =1 - \tfrac{5}{2}t +3t^{2} - \tfrac{1}{2}t^{3},
que coincide exatamente com v(t). Logo,
v(t)=\tfrac12\,u(t).

Passo 3

Da expressão v(t)-\tfrac12\,u(t)=0 temos uma combinação linear não trivial \alpha=-\tfrac12,\beta=1 que anula u e v. Portanto, u e v são linearmente dependentes.

Resposta

u e v são linearmente dependentes em todo domínio considerado.

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