Determine se u e v são linearmente dependentes onde:
e
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em
:
A pergunta é: determinar se
e
são linearmente dependentes ou linearmente independentes.
Passo 2
Definição (explicada devagar): dois vetores
e
são linearmente dependentes se existe um escalar
tal que
ou equivalentemente se um deles pode ser obtido multiplicando o outro por um número. Se não existe tal
, então os vetores são linearmente independentes.
Aqui
é apenas um número real cuja existência (ou não) iremos testar.
Passo 3
Aplicando a ideia do múltiplo escalar: suponha que exista
tal que
Isto gera igualdades componente a componente. Vou escrever explicitamente o que cada componente significa:
- componente 1:
, - componente 2:
, - componente 3:
.
Passo 4
Resolver as igualdades:
- Da primeira igualdade segue
. - A segunda igualdade
é verdadeira para qualquer (não dá informação adicional). - A terceira igualdade, com
, dá , que é uma contradição.
Portanto não existe
que satisfaça todas as componentes ao mesmo tempo. Logo não é verdade que
seja múltiplo escalar de
.
Passo 5
Vou mostrar uma alternativa (útil na prova): testar se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial. Considere escalares
tais que
Aqui
e
são os coeficientes da combinação linear.
Passo 6
Escrevendo componente a componente a equação
:
- primeira componente:
, - segunda componente:
(sem informação), - terceira componente:
.
Assim, a única solução é
e
. Isso mostra que a combinação linear que gera o vetor zero é apenas a combinação trivial, o que caracteriza vetores linearmente independentes.
Passo 7
Conclusão: pelas duas abordagens (não existe
tal que
; e a única combinação linear que dá zero é a trivial), os vetores
e
são linearmente independentes.
Resposta
Linearmente independentes.