Determine se u e v são linearmente dependentes onde:
u=(1,0,0) \quad e \quad v=(0,0,-3)

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
u = (1,0,0) \qquad\text{e}\qquad v = (0,0,-3).
A pergunta é: determinar se u e v são linearmente dependentes ou linearmente independentes.

Passo 2

Definição (explicada devagar): dois vetores \,u e \,v são linearmente dependentes se existe um escalar \lambda\in\mathbb{R} tal que
v = \lambda u,
ou equivalentemente se um deles pode ser obtido multiplicando o outro por um número. Se não existe tal \lambda, então os vetores são linearmente independentes.
Aqui \lambda é apenas um número real cuja existência (ou não) iremos testar.

Passo 3

Aplicando a ideia do múltiplo escalar: suponha que exista \lambda tal que
(0,0,-3) = \lambda(1,0,0).
Isto gera igualdades componente a componente. Vou escrever explicitamente o que cada componente significa:
  • componente 1: 0 = \lambda\cdot 1,
  • componente 2: 0 = \lambda\cdot 0,
  • componente 3: -3 = \lambda\cdot 0.

Passo 4

Resolver as igualdades:
  • Da primeira igualdade segue \lambda = 0.
  • A segunda igualdade 0 = \lambda\cdot 0 é verdadeira para qualquer \lambda (não dá informação adicional).
  • A terceira igualdade, com \lambda=0, dá -3 = 0, que é uma contradição.
Portanto não existe \lambda que satisfaça todas as componentes ao mesmo tempo. Logo não é verdade que v seja múltiplo escalar de u.

Passo 5

Vou mostrar uma alternativa (útil na prova): testar se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial. Considere escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
a u + b v = (0,0,0).
Aqui a e b são os coeficientes da combinação linear.

Passo 6

Escrevendo componente a componente a equação a(1,0,0)+b(0,0,-3)=(0,0,0):
  • primeira componente: a\cdot 1 + b\cdot 0 = 0 \Rightarrow a = 0,
  • segunda componente: a\cdot 0 + b\cdot 0 = 0 \Rightarrow 0 = 0 (sem informação),
  • terceira componente: a\cdot 0 + b\cdot (-3) = 0 \Rightarrow -3b = 0 \Rightarrow b = 0.
Assim, a única solução é a=0 e b=0. Isso mostra que a combinação linear que gera o vetor zero é apenas a combinação trivial, o que caracteriza vetores linearmente independentes.

Passo 7

Conclusão: pelas duas abordagens (não existe \lambda tal que v=\lambda u; e a única combinação linear que dá zero é a trivial), os vetores u e v são linearmente independentes.

Resposta

Linearmente independentes.

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