Questão 3: (6 pontos) Sejam r a reta que passa pelos pontos A=(1,2,0) e B=(2,3,2) e \pi o plano que passa por P=(1,1,0) e é paralelo aos vetores \vec{v}=(2,1,2) e \vec{w}=(0,1,3).
a) Encontre a equação vetorial de r e a equação cartesiana de \pi.
b) Classifique a posição relativa entre r e \pi, indicando ponto de interseção, se houver.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • Dois pontos da reta r: A=(1,2,0) e B=(2,3,2).
  • Um ponto do plano \pi: P=(1,1,0).
  • Dois vetores paralelos ao plano \pi: \vec{v}=(2,1,2) e \vec{w}=(0,1,3).
O que o enunciado pede:
a) Encontrar a equação vetorial da reta r e a equação cartesiana do plano \pi.
b) Classificar a posição relativa entre r e \pi, indicando o ponto de interseção, se houver.

Passo 2

Equação vetorial da reta r.
Conceito rápido (passo-a-passo): uma reta que passa por um ponto R_0 e tem vetor direção \vec{d} pode ser escrita como
\vec{r}(t)=\vec{R_0}+t\vec{d},\quad t\in\mathbb{R},
onde \vec{R_0} é as coordenadas do ponto base e \vec{d} é a diferença entre dois pontos quaisquer da reta.
Aqui pegamos o vetor direção como \vec{d}=\overrightarrow{AB}=B-A. Calculemos coordenada a coordenada:
\overrightarrow{AB}=(2-1,\;3-2,\;2-0)=(1,1,2).
Portanto a reta r, tomando A como ponto base, tem equação vetorial
\vec{r}(t)=(1,2,0)+t(1,1,2),\quad t\in\mathbb{R}.
Em coordenadas paramétricas isso dá
x=1+t,\qquad y=2+t,\qquad z=2t.

Passo 3

Encontrar a equação cartesiana do plano \pi.
Ideia: um plano pode ser dado por um ponto P e dois vetores diretores \vec{v} e \vec{w} que ficam no plano. O vetor normal \vec{n} ao plano é perpendicular a ambos e pode ser obtido pelo produto vetorial \vec{n}=\vec{v}\times\vec{w}. A equação cartesiana é então
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-P\bigr)=0.
Calculemos o produto vetorial \vec{n}=\vec{v}\times\vec{w} com \vec{v}=(2,1,2) e \vec{w}=(0,1,3). Usando a forma determinantal:
\vec{v}\times\vec{w}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 3 \end{vmatrix}.
Expandindo coordenada a coordenada:
  • Componente x (coeficiente de \mathbf{i}):
1\cdot 3 - 2\cdot 1 = 3-2=1.
  • Componente y (coeficiente de \mathbf{j}, lembrando o sinal negativo):
-(2\cdot 3 - 2\cdot 0)=-(6-0)=-6.
  • Componente z (coeficiente de \mathbf{k}):
2\cdot 1 - 1\cdot 0 = 2-0=2.
Logo
\vec{n}=(1,-6,2).
Verificação conceitual: \vec{n} é ortogonal a \vec{v} e a \vec{w} (isto pode ser checado por produto escalar, mas não é necessário aqui).

Passo 4

Montar a equação cartesiana do plano usando \vec{n} e o ponto P=(1,1,0).
A forma é
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-P\bigr)=0.
Substituindo \vec{n}=(1,-6,2) e P=(1,1,0):
(1,-6,2)\cdot(x-1,\;y-1,\;z-0)=0.
Fazendo o produto escalar e simplificando:
1\cdot(x-1)-6\cdot(y-1)+2\cdot z=0,
x-1-6y+6+2z=0,
x-6y+2z+5=0.
Portanto a equação cartesiana do plano \pi é
x-6y+2z+5=0.

Passo 5

Classificar a posição relativa entre r e \pi.
Critério prático:
  • Calcule o produto escalar \vec{n}\cdot\vec{d}, onde \vec{d} é a direção da reta e \vec{n} o normal do plano.
    • Se \vec{n}\cdot\vec{d}\neq 0 então a reta não é paralela ao plano e intersecta o plano em exatamente um ponto.
    • Se \vec{n}\cdot\vec{d}=0 então a reta é paralela ao plano; aí pode ser que a reta esteja contida no plano (se um ponto da reta satisfaz a equação do plano) ou seja paralela e disjunta (se nenhum ponto da reta satisfaz).
Aqui \vec{d}=\overrightarrow{AB}=(1,1,2) e \vec{n}=(1,-6,2). Calcule:
\vec{n}\cdot\vec{d}=1\cdot1 + (-6)\cdot1 + 2\cdot2 = 1-6+4=-1\neq 0.
Como o produto escalar não é zero, concluímos que a reta r intersecta o plano \pi em um único ponto.

Passo 6

Encontrar o ponto de interseção explicitamente.
Substitua as paramétricas da reta
x=1+t,\quad y=2+t,\quad z=2t
na equação do plano x-6y+2z+5=0. Fazendo a substituição:
(1+t)-6(2+t)+2(2t)+5=0.
Calcule termo a termo:
1+t-12-6t+4t+5=0.
Juntando constantes e termos em t:
(1-12+5)+ (t-6t+4t)= -6 - t =0.
Portanto
-t-6=0\quad\Rightarrow\quad t=-6.
Agora calcule as coordenadas para t=-6:
x=1+(-6)=-5,\qquad y=2+(-6)=-4,\qquad z=2(-6)=-12.
Logo o ponto de interseção é (-5,-4,-12).

Passo 7

Resumo final (classificação): a reta r encontra o plano \pi em um único ponto; não é paralela nem está contida no plano.

Resposta

\vec{r}(t)=(1,2,0)+t(1,1,2),\\ t\in\mathbb{R}.
x-6y+2z+5=0.
A reta intersecta o plano em um único ponto: (-5,-4,-12).

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