Questão 2: (6 pontos) Sejam x>0 e \mathcal{P} o paralelepípedo determinado pelos vetores \vec{u}=(1, x, 1), \vec{v}=(0,1,2) e \vec{w}=(1,1,0).
a) Sabendo que o volume de \mathcal{P} é 3, determine x.
b) Calcule a altura desse paralelepípedo relativa à base determinada por \vec{u} e \vec{v}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
x>0.
Os vetores que determinam o paralelepípedo \mathcal{P} são \vec{u}=(1,x,1), \vec{v}=(0,1,2) e \vec{w}=(1,1,0).
O volume de \mathcal{P} é 3.
As perguntas são:
(a) Determinar x.
(b) Calcular a altura do paralelepípedo relativa à base determinada por \vec{u} e \vec{v}.
Passo 2
Conceito chave (explicado passo a passo): o volume de um paralelepípedo gerado por três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} é o valor absoluto do produto escalar misto (produto triple), isto é
V = \big|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\big|.
Aqui:
\vec{v}\times\vec{w} é o produto vetorial entre \vec{v} e \vec{w}; ele resulta num vetor perpendicular a ambos e cujo módulo é a área do paralelogramo formado por \vec{v} e \vec{w}.
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) é um número (escalar). O valor absoluto desse número é o volume do paralelepípedo.
Vou calcular \vec{v}\times\vec{w} explicitamente. Com \vec{v}=(0,1,2) e \vec{w}=(1,1,0), o produto vetorial é dado pela regra do determinante:
Caso 2x-3 = -3 temos 2x = 0 e x=0, mas isso contradiz a condição x>0.
Logo a única solução admissível é
x=3.
Passo 4
Agora que temos x=3, os vetores \vec{u} e \vec{v} que formam a base são \vec{u}=(1,3,1) e \vec{v}=(0,1,2).
Conceito usado para a altura: a altura h relativa à base gerada por \vec{u} e \vec{v} é dada por
h = \frac{V}{A},
onde V é o volume do paralelepípedo e A é a área da base (o paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}). A área do paralelogramo é o módulo do produto vetorial:
A = \big\|\vec{u}\times\vec{v}\big\|.
Vou calcular \vec{u}\times\vec{v}. Usando \vec{u}=(1,3,1) e \vec{v}=(0,1,2),