Questão 2: (6 pontos) Sejam x>0 e \mathcal{P} o paralelepípedo determinado pelos vetores \vec{u}=(1, x, 1), \vec{v}=(0,1,2) e \vec{w}=(1,1,0).
a) Sabendo que o volume de \mathcal{P} é 3, determine x.
b) Calcule a altura desse paralelepípedo relativa à base determinada por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • x>0.
  • Os vetores que determinam o paralelepípedo \mathcal{P} são
    \vec{u}=(1,x,1), \vec{v}=(0,1,2) e \vec{w}=(1,1,0).
  • O volume de \mathcal{P} é 3.
As perguntas são:
(a) Determinar x.
(b) Calcular a altura do paralelepípedo relativa à base determinada por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 2

Conceito chave (explicado passo a passo): o volume de um paralelepípedo gerado por três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} é o valor absoluto do produto escalar misto (produto triple), isto é
V = \big|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\big|.
Aqui:
  • \vec{v}\times\vec{w} é o produto vetorial entre \vec{v} e \vec{w}; ele resulta num vetor perpendicular a ambos e cujo módulo é a área do paralelogramo formado por \vec{v} e \vec{w}.
  • \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) é um número (escalar). O valor absoluto desse número é o volume do paralelepípedo.
Vou calcular \vec{v}\times\vec{w} explicitamente. Com \vec{v}=(0,1,2) e \vec{w}=(1,1,0), o produto vetorial é dado pela regra do determinante:
\vec{v}\times\vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}.
Desenvolvendo pelos componentes:
  • Componente x (multiplicando \mathbf{i}): 1\cdot 0 - 2\cdot 1 = -2.
  • Componente y (multiplicando -\mathbf{j}): 0\cdot 0 - 2\cdot 1 = -2, com sinal negativo vira +2.
  • Componente z (multiplicando \mathbf{k}): 0\cdot 1 - 1\cdot 1 = -1.
Portanto
\vec{v}\times\vec{w}=(-2,\,2,\,-1).

Passo 3

Agora calculo o produto escalar \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}). Com \vec{u}=(1,x,1) e \vec{v}\times\vec{w}=(-2,2,-1),
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = 1\cdot(-2) + x\cdot 2 + 1\cdot(-1).
Fazendo as contas:
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = -2 + 2x -1 = 2x - 3.
Pelo item dado, o volume é 3, então
\big|2x-3\big| = 3.
Resolvendo essa equação:
  • Caso 2x-3 = 3 temos 2x = 6 e portanto x=3.
  • Caso 2x-3 = -3 temos 2x = 0 e x=0, mas isso contradiz a condição x>0.
Logo a única solução admissível é
x=3.

Passo 4

Agora que temos x=3, os vetores \vec{u} e \vec{v} que formam a base são
\vec{u}=(1,3,1) e \vec{v}=(0,1,2).
Conceito usado para a altura: a altura h relativa à base gerada por \vec{u} e \vec{v} é dada por
h = \frac{V}{A},
onde V é o volume do paralelepípedo e A é a área da base (o paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}). A área do paralelogramo é o módulo do produto vetorial:
A = \big\|\vec{u}\times\vec{v}\big\|.
Vou calcular \vec{u}\times\vec{v}. Usando \vec{u}=(1,3,1) e \vec{v}=(0,1,2),
\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}.
Componentes:
  • x: 3\cdot 2 - 1\cdot 1 = 6 - 1 = 5.
  • y: 1\cdot 2 - 1\cdot 0 = 2 - 0 = 2, com o sinal do termo médio dá -2.
  • z: 1\cdot 1 - 3\cdot 0 = 1 - 0 = 1.
Portanto
\vec{u}\times\vec{v} = (5,\,-2,\,1).
O módulo desse vetor é
\big\|\vec{u}\times\vec{v}\big\| = \sqrt{5^{2} + (-2)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{25 + 4 + 1} = \sqrt{30}.
Como V=3, a altura é
h = \frac{3}{\sqrt{30}}.
Se preferir uma forma racionalizada,
h = \frac{3}{\sqrt{30}} = \frac{3\sqrt{30}}{30} = \frac{\sqrt{30}}{10}.

Resposta

x=3\n h=\dfrac{\sqrt{30}}{10}

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