Determine, usando as propriedades da divisão:
o valor de a para que x+6 divida x^{4}+4 x^{3}-21 x^{2}+a x+108;

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
P(x) = x^4 + 4x^3 -21x^2 + a x + 108
e pede o valor de a para que x+6 seja fator. O conteúdo necessário é o teorema do resto de polinômios.

Passo 2

Pelo teorema do resto, o resto da divisão de P(x) por x - r é P(r). Como x + 6 = x - (-6), basta que
P(-6) = 0.

Passo 3

Calcular P(-6):
P(-6) = (-6)^4 + 4(-6)^3 -21(-6)^2 + a(-6) + 108.
Como (-6)^4 = 1296, 4(-6)^3 = -864 e -21(-6)^2 = -756, somando com 108 obtemos
P(-6) = 1296 - 864 - 756 + 108 - 6a = -216 - 6a.
Impondo P(-6)=0 resulta
-216 - 6a = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = -36.

Resposta

a = -36

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