Determine (usando a série de Taylor) a expansão em série de potências para as funções exponencial, seno e cosseno na vizinhança de x0=0. Determine para estas séries seu raio de convergência e mostre que:
e^i theta=cos theta+i sin theta

Passo 1

Estamos buscando as séries de Taylor (Maclaurin) de e^x, sin x e cos x em torno de x0=0. Para isso usamos a fórmula geral de Maclaurin
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n,
depois aplicamos o teste da razão para obter o raio de convergência e, por fim, substituímos x=itheta na série de e^x para mostrar a relação de Euler e^itheta=costheta+isintheta.

Passo 2

Para f(x)=e^x temos f^(n)(x)=e^x, logo
f^(n)(0)=e^0=1forall n
Aplicando Maclaurin,
e^x=sumn=0^infty1n!,x^n

Passo 3

Para g(x)=sin x as derivadas em zero ciclam entre sin0=0, cos0=1, -sin0=0, -cos0=-1. Assim, só aparecem termos ímpares:
sin x=sumn=0^infty(-1)^n(2n+1)!,x^2n+1

Passo 4

Para h(x)=cos x as derivadas em zero ciclam entre cos0=1, -sin0=0, -cos0=-1, sin0=0. Só aparecem termos pares:
cos x=sumn=0^infty(-1)^n(2n)!,x^2n

Passo 5

Para cada série usemos o teste da razão com an=x^n/n!:
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|x|n+1=0<1
Isso vale para todo x, logo o raio de convergência é R=infty em todas as três séries.

Passo 6

Substituindo x=itheta em
e^x=sumn=0^inftyx^nn!
obtém-se
e^itheta =sumn=0^infty(itheta)^nn! =sumk=0^infty(i)^2k(2k)!,theta^2k +sumk=0^infty(i)^2k+1(2k+1)!,theta^2k+1
Como i^2k=(-1)^k e i^2k+1=i,(-1)^k, isso se separa em
sumk=0^infty(-1)^k(2k)!,theta^2k +isumk=0^infty(-1)^k(2k+1)!,theta^2k+1 =costheta+isintheta

Resposta

e^x=sumn=0^inftyx^nn!, sin x=sumn=0^infty(-1)^n(2n+1)!,x^2n+1, cos x=sumn=0^infty(-1)^n(2n)!,x^2n,
todas com raio de convergência R=infty, e
e^itheta=costheta+isintheta

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