Determine (usando a série de Taylor) a expansão em série de potências para as funções exponencial, seno e cosseno na vizinhança de . Determine para estas séries seu raio de convergência e mostre que:
Passo 1
Estamos buscando as séries de Taylor (Maclaurin) de , e em torno de . Para isso usamos a fórmula geral de Maclaurin
depois aplicamos o teste da razão para obter o raio de convergência e, por fim, substituímos na série de para mostrar a relação de Euler .
Passo 2
Para temos , logo
Aplicando Maclaurin,
Passo 3
Para as derivadas em zero ciclam entre , , , . Assim, só aparecem termos ímpares:
Passo 4
Para as derivadas em zero ciclam entre , , , . Só aparecem termos pares:
Passo 5
Para cada série usemos o teste da razão com :
Isso vale para todo x, logo o raio de convergência é R=infty em todas as três séries.