As equações abaixo são redutíveis a lineares. Resolva-as:
x y^prime+y-y^2 log x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x,y' + y - y^2ln x = 0
que é um caso de equação de Bernoulli (já que aparece y^2 multiplicando uma função de x). Para resolver precisamos realizar os seguintes passos:
  1. Colocar na forma padrão de Bernoulli
  2. Aplicar a substituição que transforma em equação linear
  3. Resolver a equação linear resultante
  4. Voltar à variável original y

Passo 2

Dividindo a equação original por x (pressupondo xneq0) obtemos a forma padrão
y' + 1x,y = ln xx,y^2,
que é exatamente
y' + P(x),y = Q(x),y^n
com P(x)=1/x, Q(x)=ln x/x e n=2.

Passo 3

Na equação de Bernoulli com expoente n=2 usamos a substituição
v = y^1-n = y^-1
Calculamos v' em função de y':
v' = -,y'y^2
Substituindo y' da forma padrão, temos
-y'y^2 + 1x,yy^2 = -ln xx,
isto é
v' + 1x,v = -ln xx
Portanto, virou uma equação linear em v.

Passo 4

Resolvemos a equação linear
v' + 1x,v = -ln xx
O fator integrante é
mu(x) = exp!l(!integral tfrac1x,dxr) = x
Multiplicando tudo por x fica
x,v' + v = -ln x
ou seja
ddxl(x,vr) = -ln x
Integrando em x,
x,v = -integral ln x,dx + C = -l(xln x - xr) + C = x,(1-ln x) + C
Logo
v = 1 - ln x + Cx

Passo 5

Voltando à variável y, lembrando v = y^-1, temos
y = 1v = 1,1 - ln x + tfracCx,

Resposta

y(x) ;=; 1,1 - ln x + dfracCx,,
onde C é a constante arbitrária de integração.

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