Determine, utilizando limites, as assintotas horizontais e verticais do gráfico da função abaixo:
(2,5 pontos)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar, usando limites, as assintotas horizontais e verticais do gráfico dessa função.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é uma razão de polinômios, com numerador
e denominador . - O domínio real fica onde o denominador não é zero, isto é, onde
. - As perguntas são: quais são as assintotas verticais (valores de
onde o gráfico pode “ir para ”) e quais são as assintotas horizontais (valores de que o gráfico aproxima quando ).
Passo 2
Conceito e estratégia para assintotas verticais (aula rápida e intuitiva).
- Uma assintota vertical em
ocorre quando a função não está definida em (normalmente o denominador zera) e um ou ambos os limites laterais ou são . - Para checar pontos candidatos: resolver
.
Resolvendo:
Portanto
e
são candidatos a assintotas verticais. Antes de afirmar, preciso calcular os limites laterais em cada um desses pontos para ver se realmente vão para
. Também devo verificar se o numerador zera nesses pontos (se zera também, pode ser uma descontinuidade removível em vez de assintota).
Passo 3
Verificação de cancelamento (buraco) e cálculo do sinal do numerador nos pontos candidatos.
- Avaliando o numerador em
:
- Avaliando o numerador em
:
Como o numerador não zera em
, não há cancelamento; então, se os limites laterais divergem, teremos assintotas verticais reais.
Passo 4
Cálculo dos limites laterais em
(detalhado, com substituição
).
Seja e tome
. Então
Seja
O numerador para
próximo de
tende a
(positivo). Assim
Agora para
com
:
O numerador continua próximo de
, logo
Conclusão para
: os limites laterais são
e
, portanto
é uma assintota vertical.
Passo 5
Cálculo dos limites laterais em
(detalhado, com substituição
e
).
Avaliar comportamento do denominador perto de :
Avaliar comportamento do denominador perto de
- Para
com :
O numerador próximo de
tende a
(negativo). Assim
pois negativo sobre negativo pequeno é
.
- Para
com :
O numerador ainda próximo de
(negativo), portanto
Conclusão para
:
e
, portanto
é uma assintota vertical.
Passo 6
Conceito e cálculo de assintota horizontal (aula rápida e aplicação).
- Para funções racionais
quando , o limite quando é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Isso dá a assintota horizontal essa razão. Vou demonstrar dividindo por (grau comum) para ser mais explícito.
Dividindo numerador e denominador por:
Quando
temos
,
e
. Portanto
Alternativamente, fazendo divisão de polinômios:
e
quando
. Em qualquer caso, a assintota horizontal é
.
Passo 7
Resumo final do comportamento em cada ponto e conclusão didática.
- Não houve cancelamento (numerador não zera em
), logo as descontinuidades em são verticais (não buracos). - Os limites laterais mostram que em
a função vai para pela esquerda e para pela direita; em vai para pela esquerda e para pela direita. - Em ambas as direções infinitas (
e ), , logo a assintota horizontal única é .
Resposta
Assintotas verticais:
e
.
Assintota horizontal: .
Assintota horizontal: