Determine, utilizando limites, as assintotas horizontais e verticais do gráfico da função abaixo:
f(x)=\frac{x^{2}+4 x+2}{x^{2}-1}
(2,5 pontos)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}+4x+2}{x^{2}-1}
e pede para determinar, usando limites, as assintotas horizontais e verticais do gráfico dessa função.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é uma razão de polinômios, com numerador x^{2}+4x+2 e denominador x^{2}-1.
  • O domínio real fica onde o denominador não é zero, isto é, onde x^{2}-1\neq0.
  • As perguntas são: quais são as assintotas verticais (valores de x onde o gráfico pode “ir para \pm\infty”) e quais são as assintotas horizontais (valores de y que o gráfico aproxima quando x\to\pm\infty).

Passo 2

Conceito e estratégia para assintotas verticais (aula rápida e intuitiva).
  • Uma assintota vertical em x=a ocorre quando a função não está definida em a (normalmente o denominador zera) e um ou ambos os limites laterais \lim_{x\to a^-}f(x) ou \lim_{x\to a^+}f(x) são \pm\infty.
  • Para checar pontos candidatos: resolver x^{2}-1=0.
    Resolvendo:
x^{2}-1=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm1.
Portanto x=1 e x=-1 são candidatos a assintotas verticais. Antes de afirmar, preciso calcular os limites laterais em cada um desses pontos para ver se realmente vão para \pm\infty. Também devo verificar se o numerador zera nesses pontos (se zera também, pode ser uma descontinuidade removível em vez de assintota).

Passo 3

Verificação de cancelamento (buraco) e cálculo do sinal do numerador nos pontos candidatos.
  • Avaliando o numerador em x=1:
x=1\\ \Rightarrow\\ x^{2}+4x+2=1+4+2=7\neq0.
  • Avaliando o numerador em x=-1:
x=-1\\ \Rightarrow\\ x^{2}+4x+2=1-4+2=-1\neq0.
Como o numerador não zera em x=\pm1, não há cancelamento; então, se os limites laterais divergem, teremos assintotas verticais reais.

Passo 4

Cálculo dos limites laterais em x=1 (detalhado, com substituição x=1+\varepsilon).
Seja \varepsilon\to0^+ e tome x=1+\varepsilon. Então
x^{2}-1=(1+\varepsilon)^{2}-1=2\varepsilon+\varepsilon^{2}>0\quad\text{para }\varepsilon>0.
O numerador para x próximo de 1 tende a 7 (positivo). Assim
\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{7+\text{o}(1)}{2\varepsilon+\varepsilon^{2}}=+\infty.
Agora para x=1-\varepsilon com \varepsilon\to0^+:
x^{2}-1=(1-\varepsilon)^{2}-1=-2\varepsilon+\varepsilon^{2}<0\quad\text{para }\varepsilon\text{ pequeno}>0.
O numerador continua próximo de 7>0, logo
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{7+\text{o}(1)}{-2\varepsilon+\varepsilon^{2}}=-\infty.
Conclusão para x=1: os limites laterais são \lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty e \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty, portanto x=1 é uma assintota vertical.

Passo 5

Cálculo dos limites laterais em x=-1 (detalhado, com substituição x=-1+\varepsilon e x=-1-\varepsilon).
Avaliar comportamento do denominador perto de -1:
  • Para x=-1+\varepsilon com \varepsilon\to0^+:
x^{2}-1 = (-1+\varepsilon)^{2}-1 = 1-2\varepsilon+\varepsilon^{2}-1 = -2\varepsilon+\varepsilon^{2}<0\\ (\text{quando }\varepsilon\text{ pequeno}>0).
O numerador próximo de x=-1 tende a -1 (negativo). Assim
\lim_{x\to-1^+}f(x)=\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{-1+\text{o}(1)}{-2\varepsilon+\varepsilon^{2}}=+\infty,
pois negativo sobre negativo pequeno é +\infty.
  • Para x=-1-\varepsilon com \varepsilon\to0^+:
x^{2}-1 = (-1-\varepsilon)^{2}-1 = 1+2\varepsilon+\varepsilon^{2}-1 = 2\varepsilon+\varepsilon^{2}>0.
O numerador ainda próximo de -1 (negativo), portanto
\lim_{x\to-1^-}f(x)=\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{-1+\text{o}(1)}{2\varepsilon+\varepsilon^{2}}=-\infty.
Conclusão para x=-1: \lim_{x\to-1^-}f(x)=-\infty e \lim_{x\to-1^+}f(x)=+\infty, portanto x=-1 é uma assintota vertical.

Passo 6

Conceito e cálculo de assintota horizontal (aula rápida e aplicação).
  • Para funções racionais \dfrac{P(x)}{Q(x)} quando \deg P=\deg Q, o limite quando x\to\pm\infty é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Isso dá a assintota horizontal y= essa razão. Vou demonstrar dividindo por x^{2} (grau comum) para ser mais explícito.
    Dividindo numerador e denominador por x^{2}:
f(x)=\frac{x^{2}+4x+2}{x^{2}-1}=\frac{1+\dfrac{4}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}}{1-\dfrac{1}{x^{2}}}.
Quando x\to\pm\infty temos \dfrac{4}{x}\to0, \dfrac{2}{x^{2}}\to0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to0. Portanto
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\frac{1+0+0}{1-0}=1.
Alternativamente, fazendo divisão de polinômios:
\frac{x^{2}+4x+2}{x^{2}-1}=1+\frac{4x+3}{x^{2}-1},
e \dfrac{4x+3}{x^{2}-1}\to0 quando x\to\pm\infty. Em qualquer caso, a assintota horizontal é y=1.

Passo 7

Resumo final do comportamento em cada ponto e conclusão didática.
  • Não houve cancelamento (numerador não zera em x=\pm1), logo as descontinuidades em x=\pm1 são verticais (não buracos).
  • Os limites laterais mostram que em x=1 a função vai para -\infty pela esquerda e para +\infty pela direita; em x=-1 vai para -\infty pela esquerda e para +\infty pela direita.
  • Em ambas as direções infinitas ( x\to+\infty e x\to-\infty), f(x)\to1, logo a assintota horizontal única é y=1.

Resposta

Assintotas verticais: x=1 e x=-1.
Assintota horizontal: y=1.

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