Determine, utilizando a Tabela, as transformadas de Laplace para:
t^{2}\left(1+e^{-a t}\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=t^{2}\bigl(1+e^{-a t}\bigr).
O conteúdo aqui é o uso da linearidade da transformada e da propriedade de deslocamento no eixo s. Na tabela de transformadas temos:
  • \displaystyle \mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{\,n+1}},
  • e se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), então \displaystyle \mathcal{L}\{e^{-a t}f(t)\}=F(s+a).

Passo 2

Vamos separar a função em duas partes via linearidade:
\mathcal{L}\{t^{2}(1+e^{-a t})\} =\mathcal{L}\{t^{2}\} \;+\;\mathcal{L}\{t^{2}e^{-a t}\}.

Passo 3

Pela tabela, para n=2 vale
\mathcal{L}\{t^{2}\} =\frac{2!}{s^{2+1}} =\frac{2}{s^{3}}.

Passo 4

Agora aplicamos o deslocamento em s para a segunda parte. Como \mathcal{L}\{t^{2}\}=2/s^{3}, substituímos s por s+a:
\mathcal{L}\{t^{2}e^{-a t}\} =\frac{2}{(s+a)^{3}}.

Resposta

\mathcal{L}\{\,t^{2}(1+e^{-a t})\} =\frac{2}{s^{3}} \;+\;\frac{2}{(s+a)^{3}}.

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