Determine u+v, u-3 v, u cdot v,|u-3 v| em cada um dos seguintes casos:
(a) u=(3,4), v=(-2,5);
(b) u=(3,4,1), v=(-2,3,-1).

Passo 1

Neste exercício, temos dois casos de vetores em R^2 e R^3. Precisamos calcular para cada par de vetores u e v as operações: soma u+v, diferença com escalar u-3v, produto escalar ucdotv e a norma de u-3v. Vamos usar a definição de soma e subtração componente a componente, multiplicação escalar, produto escalar e norma Euclidiana.

Passo 2

Para o caso (a), com u=(3,4) e v=(-2,5), somamos componente a componente:
u+v = (3,4) + (-2,5) = (3 + (-2),;4 + 5) = (1,9)
Ainda no caso (a), calculamos primeiro o escalar 3v e depois subtraímos de u. Temos
3v = 3,(-2,5) = (-6,15),
e então
u - 3v = (3,4) - (-6,15) = (3 - (-6),;4 - 15) = (9,-11)
O produto escalar em R^2 é a soma dos produtos das componentes. Assim,
u cdot v = 3cdot(-2) + 4cdot 5 = -6 + 20 = 14
A norma Euclidiana de um vetor (x,y) é raizx^2 + y^2. Para u - 3v = (9,-11),
|u - 3v| = raiz9^2 + (-11)^2 = raiz81 + 121 = raiz202

Passo 3

Passando ao caso (b), com u=(3,4,1) e v=(-2,3,-1), somamos componente a componente:
u + v = (3,4,1) + (-2,3,-1) = (3 + (-2),;4 + 3,;1 + (-1)) = (1,7,0)
No caso (b), calculamos primeiro
3v = 3,(-2,3,-1) = (-6,9,-3)
e depois fazemos a subtração:
u - 3v = (3,4,1) - (-6,9,-3) = (3 - (-6),;4 - 9,;1 - (-3)) = (9,-5,4)
O produto escalar em R^3 é a soma dos produtos correspondentes:
u cdot v = 3cdot(-2) + 4cdot 3 + 1cdot(-1) = -6 + 12 - 1 = 5
Para a norma de u - 3v = (9,-5,4) usamos
|u - 3v| = raiz9^2 + (-5)^2 + 4^2 = raiz81 + 25 + 16 = raiz122

Resposta

(a) (\mathbf{u}+\mathbf{v}=(1,9),;\mathbf{u}-3\mathbf{v}=(9,-11),;\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=14,;|\mathbf{u}-3\mathbf{v}|=\sqrt{202}.\newline(b) (\mathbf{u}+\mathbf{v}=(1,7,0),;\mathbf{u}-3\mathbf{v}=(9,-5,4),;\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=5,;|\mathbf{u}-3\mathbf{v}|=\sqrt{122}.}

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