Determine o valor de \alpha tal que:
\alpha=\log _{\frac{1}{2}} 8

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de \alpha tal que
\alpha=\log_{\frac{1}{2}} 8.
Informações dadas:
  • a base do logaritmo é \tfrac{1}{2};
  • o argumento do logaritmo é 8.
    O que se quer encontrar é o número real \alpha que satisfaz essa igualdade.

Passo 2

Primeiro, lembrar (ou aprender) o que significa um logaritmo de forma simples e direta. A definição: \beta=\log_{a} b significa que a^{\beta}=b. Ou seja, o logaritmo é o expoente ao qual devemos elevar a base a para obter b. Não tem mistério: log = “qual expoente?”.
Aplicando essa definição ao nosso problema, \alpha=\log_{\frac{1}{2}}8 é equivalente a escrever a equação exponencial
\left(\frac{1}{2}\right)^{\alpha}=8.

Passo 3

Agora simplificamos as potências, observando que tanto \tfrac{1}{2} quanto 8 podem ser expressos como potências de 2. Escrevemos:
\frac{1}{2}=2^{-1}, \qquad 8=2^{3}.

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação exponencial obtemos
\left(2^{-1}\right)^{\alpha}=2^{3}.
Pelo teorema das potências (produto de expoentes), \left(2^{-1}\right)^{\alpha}=2^{-1\cdot\alpha}=2^{-\alpha}. Assim a equação fica
2^{-\alpha}=2^{3}.

Passo 5

Como as potências de 2 são iguais, os expoentes devem ser iguais. Portanto
-\alpha=3.
Isolando \alpha temos
\alpha=-3.
Isso já resolve o problema.

Passo 6

Vamos checar rapidamente por substituição, para garantir que não houve erro: se \alpha=-3, então
\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}=\left(2^{-1}\right)^{-3}=2^{3}=8,
o que confirma que \alpha=-3 é correto. Bom trabalho — você chegou lá!

Resposta

-3

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