Determine o valor de \alpha tal que:
\alpha=\log _{3}\left(\frac{1}{81}\right)

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\alpha=\log_{3}\left(\frac{1}{81}\right)
e pede para determinar o valor de \alpha.
Informações relevantes fornecidas:
  • A base do logaritmo é 3.
  • O argumento do logaritmo é \dfrac{1}{81}.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de logaritmo de maneira bem direta e intuitiva. A definição é:
\log_{a}(b)=c \iff a^{c}=b,
onde:
  • a é a base do logaritmo (aqui a=3),
  • b é o número cujo logaritmo se quer (aqui b=\dfrac{1}{81}),
  • c é o resultado do logaritmo (aqui c=\alpha).
    Isto quer dizer: para achar \log_{a}(b) buscamos o expoente c que faz a^{c}=b. Não se preocupe, vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Uma propriedade muito útil, que vem diretamente da definição, é:
\log_{a}\bigl(a^{k}\bigr)=k,
porque se a^{k}=b então, pela definição, \log_{a}(b)=k. Vou usar isso: se conseguirmos escrever o argumento do logaritmo como uma potência de 3, o log fica óbvio.

Passo 4

Identificar 81 como potência de 3. Calculando potências pequenas de 3:
3^{1}=3,\quad 3^{2}=9,\quad 3^{3}=27,\quad 3^{4}=81.
Portanto:
81=3^{4}.

Passo 5

Escrever \dfrac{1}{81} como potência de 3. Usando 81=3^{4} temos:
\frac{1}{81}=\frac{1}{3^{4}}=3^{-4}.
Agora substituímos no logaritmo:
\alpha=\log_{3}\left(\frac{1}{81}\right)=\log_{3}\bigl(3^{-4}\bigr).
Aplicando a propriedade do passo 3:
\log_{3}\bigl(3^{-4}\bigr)=-4.

Passo 6

Verificação rápida (pra ficar confiante): se \alpha=-4, então pela definição deveria valer 3^{\alpha}=\dfrac{1}{81}. Calculando:
3^{-4}=\frac{1}{3^{4}}=\frac{1}{81},
que é exatamente o argumento do logaritmo. Está consistente.

Resposta

-4

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