Reescreva as expressões abaixo utilizando as propriedades do logaritmo. Complete as incógnitas com os números corretos que faltam.
\log _{6} 9+\log _{6} 4=\log _{6}(B)

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\log_{6} 9+\log_{6} 4=\log_{6}(B)
e pede que se complete a incógnita B. As informações relevantes são os números 9 e 4 dentro dos logaritmos com base 6.

Passo 2

Regra de logaritmos que vamos usar (é fundamental): para qualquer base a>0, a\neq1, e quaisquer M>0, N>0,
\log_{a}M+\log_{a}N=\log_{a}(M\cdot N).
Prova rápida e intuitiva dessa propriedade: suponha \log_{a}M=m e \log_{a}N=n. Isso significa que
M=a^{m}\qquad\text{e}\qquad N=a^{n}.
Multiplicando,
MN=a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.
Tomando logaritmo de base a em ambos os lados, obtém-se
\log_{a}(MN)=m+n=\log_{a}M+\log_{a}N,
que é exatamente a propriedade acima. Aqui a é a base do logaritmo, M e N são os argumentos dos logaritmos, e m,n são os valores dos logaritmos.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao caso dado, com a=6, M=9 e N=4, temos
\log_{6}9+\log_{6}4=\log_{6}(9\cdot4).
Portanto
B=9\cdot4.

Passo 4

Calcule 9\cdot4. Mostrando passo a passo e também uma observação útil para prova:
9\cdot4=36.
Observação extra (útil para checar): 9=3^{2} e 4=2^{2}, então
9\cdot4=(3^{2})(2^{2})=(3\cdot2)^{2}=6^{2}=36.
Logo \log_{6}9+\log_{6}4=\log_{6}36, e como 36=6^{2} também se tem \log_{6}36=2. Isso confirma que a soma vale 2, mas a incógnita pedida B é o número dentro do logaritmo.

Resposta

B=36

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