Determine o valor de
:
k)
k)
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor de
que satisfaz a equação
Informações e condições relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A equação envolve logaritmos na base
. - Para que cada logaritmo esteja definido, os argumentos devem ser positivos: isto impõe condições sobre
. - O problema pede todas as soluções
que satisfaçam a equação e essas condições de existência dos logaritmos.
Passo 2
Relembrando propriedades e definições que vamos usar (explicação didática):
- Definição de logaritmo:
significa que , onde , e . Aqui . - Propriedade de diferença de logaritmos (base fixa):
, válida quando e . Isso é prático porque transforma a diferença de dois logs em um único log de quociente. - Estratégia geral: usar a propriedade acima para juntar os logs, depois converter o log em uma equação exponencial (usar a definição do log) e resolver a equação algébrica resultante. Mas antes de aceitar soluções, sempre verificar se elas respeitam as condições de existência dos logs (argumentos positivos).
Passo 3
Aplicando a propriedade de quociente aos logaritmos da equação:
Aqui explicito que apliquei
com
e
.
Passo 4
Condição de existência dos logaritmos (domínio): os dois argumentos originais devem ser positivos:
Vamos resolver cada desigualdade passo a passo.
Resolver
é direto:
Resolver
. Primeiro achamos as raízes da equação quadrática associada
usando a fórmula:
As raízes são
e
. Como o coeficiente do
é positivo, a parábola abre para cima, portanto
fora do intervalo entre as raízes:
Agora intersectamos com
. Observe que
, então a interseção é
Portanto o domínio (valores de
que tornam os dois logs definidos) é
Passo 5
Voltando à equação já reduzida a um único log,
usamos a definição do log para transformar em equação exponencial: a igualdade significa que
Agora resolvemos essa equação algébrica. Multiplicando ambos os lados por
:
Passando tudo para o lado esquerdo:
Passo 6
Resolvendo
. Podemos fatorar:
Assim as possíveis soluções algébricas são
Passo 7
Verificação das soluções com o domínio encontrado em
Passo 8
-
satisfaz , então é admissível. Conferindo diretamente na equação original: e ; e , confirma. -
não satisfaz e ainda faria , então é inválido (log não definido).
Logo a única solução da equação (respeitando o domínio) é
.