Determine o valor de \boldsymbol{x} :
k) \log _{2}\left(x^{2}+2 x-7\right)-\log _{2}(x-1)=2

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de x que satisfaz a equação
\log_{2}\!\left(x^{2}+2x-7\right)-\log_{2}\!(x-1)=2.
Informações e condições relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A equação envolve logaritmos na base 2.
  • Para que cada logaritmo esteja definido, os argumentos devem ser positivos: isto impõe condições sobre x.
  • O problema pede todas as soluções x que satisfaçam a equação e essas condições de existência dos logaritmos.

Passo 2

Relembrando propriedades e definições que vamos usar (explicação didática):
  • Definição de logaritmo: \log_{a}\!y = b significa que a^{b}=y, onde a>0, a\neq1 e y>0. Aqui a=2.
  • Propriedade de diferença de logaritmos (base fixa): \log_{a}\!A - \log_{a}\!B = \log_{a}\!\left(\dfrac{A}{B}\right), válida quando A>0 e B>0. Isso é prático porque transforma a diferença de dois logs em um único log de quociente.
  • Estratégia geral: usar a propriedade acima para juntar os logs, depois converter o log em uma equação exponencial (usar a definição do log) e resolver a equação algébrica resultante. Mas antes de aceitar soluções, sempre verificar se elas respeitam as condições de existência dos logs (argumentos positivos).

Passo 3

Aplicando a propriedade de quociente aos logaritmos da equação:
\log_{2}\!\left(\frac{x^{2}+2x-7}{x-1}\right)=2.
Aqui explicito que apliquei \log_{2}\!A-\log_{2}\!B=\log_{2}\!\left(\dfrac{A}{B}\right) com A=x^{2}+2x-7 e B=x-1.

Passo 4

Condição de existência dos logaritmos (domínio): os dois argumentos originais devem ser positivos:
x^{2}+2x-7>0 \qquad\text{e}\qquad x-1>0.
Vamos resolver cada desigualdade passo a passo.
Resolver x-1>0 é direto:
x>1.
Resolver x^{2}+2x-7>0. Primeiro achamos as raízes da equação quadrática associada x^{2}+2x-7=0 usando a fórmula:
x=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot1\cdot(-7)}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{4+28}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{32}}{2}=\frac{-2\pm 4\sqrt{2}}{2}=-1\pm 2\sqrt{2}.
As raízes são x_{1}=-1-2\sqrt{2} e x_{2}=-1+2\sqrt{2}. Como o coeficiente do x^{2} é positivo, a parábola abre para cima, portanto x^{2}+2x-7>0 fora do intervalo entre as raízes:
x< -1-2\sqrt{2} \quad\text{ou}\quad x> -1+2\sqrt{2}.
Agora intersectamos com x>1. Observe que -1+2\sqrt{2}\approx 1{,}828>1, então a interseção é
x> -1+2\sqrt{2}.
Portanto o domínio (valores de x que tornam os dois logs definidos) é
x> -1+2\sqrt{2}.

Passo 5

Voltando à equação já reduzida a um único log,
\log_{2}\!\left(\frac{x^{2}+2x-7}{x-1}\right)=2,
usamos a definição do log para transformar em equação exponencial: a igualdade significa que
\frac{x^{2}+2x-7}{x-1}=2^{2}=4.
Agora resolvemos essa equação algébrica. Multiplicando ambos os lados por x-1:
x^{2}+2x-7=4(x-1)=4x-4.
Passando tudo para o lado esquerdo:
x^{2}+2x-7-4x+4=0
x^{2}-2x-3=0.

Passo 6

Resolvendo x^{2}-2x-3=0. Podemos fatorar:
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1)=0.
Assim as possíveis soluções algébricas são
x=3 \qquad\text{ou}\qquad x=-1.

Passo 7

Verificação das soluções com o domínio encontrado em

Passo 8

  • x=3 satisfaz x> -1+2\sqrt{2}, então é admissível. Conferindo diretamente na equação original: x^{2}+2x-7=9+6-7=8>0 e x-1=2>0; e \log_{2}(8)-\log_{2}(2)=3-1=2, confirma.
  • x=-1 não satisfaz x> -1+2\sqrt{2} e ainda faria x-1=-2\le 0, então é inválido (log não definido).
Logo a única solução da equação (respeitando o domínio) é x=3.

Resposta

3

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