Determine o valor de \boldsymbol{x} :
l) \log _{2}\left(\log _{3}(x-1)\right)=2

Passo 1

O problema pede para determinar o valor de x que satisfaz a equação
\log_{2}\!\big(\log_{3}(x-1)\big)=2.
Informações e condições relevantes dadas pelo enunciado:
  • A equação envolve logaritmos aninhados: primeiro \log_{3}(x-1) e depois \log_{2}(\cdot).
  • Para que a expressão esteja bem definida é preciso que: x-1>0e \log_{3}(x-1)>0.Essas duas desigualdades definem o domínio válido da equação (vou usar isso depois para checar a solução).

Passo 2

Relembrando uma propriedade fundamental de logaritmos (mini-aula): se
\log_{a}(b)=c,
então isso é equivalente a escrever a forma exponencial
b=a^{c}.
Aqui a é a base do logaritmo (com a>0 e a\neq1), b é o argumento do logaritmo (deve ser >0) e c é o valor do logaritmo. Essa troca entre log e exponencial é a ferramenta que vamos usar para “descascar” os logaritmos aninhados.
Aplicando essa propriedade à equação original para eliminar o logaritmo de base 2:
\log_{2}\!\big(\log_{3}(x-1)\big)=2 \quad\Longrightarrow\quad \log_{3}(x-1)=2^{\,2}.

Passo 3

Calcule 2^{2} e resolva a equação resultante:
2^{2}=4,
logo
\log_{3}(x-1)=4.
Agora aplicamos novamente a mesma propriedade para eliminar o logaritmo de base 3:
\log_{3}(x-1)=4 \quad\Longrightarrow\quad x-1=3^{4}.

Passo 4

Calcule 3^{4} e encontre x:
3^{4}=3\cdot3\cdot3\cdot3=81,
então
x-1=81\quad\Longrightarrow\quad x=82.

Passo 5

Checagem de domínio e verificação final (sempre faça isto na prova):
  • Condição x-1>0: para x=82 temos 82-1=81>0, OK.
  • Condição \log_{3}(x-1)>0: para x=82 temos \log_{3}(81)=4>0, OK.
  • Verificação direta na equação original: \log_{2}\!\big(\log_{3}(82-1)\big)=\log_{2}\!\big(\log_{3}(81)\big)=\log_{2}(4)=2,portanto x=82 satisfaz a equação.

Resposta

x=82

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