Se \log a=5, \log b=3 e \log c=2, então \log \left(\frac{a \cdot b^{2}}{c}\right) é:

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • \log a = 5,
  • \log b = 3,
  • \log c = 2.
O que nos pedem é calcular
\log\!\left(\frac{a\cdot b^{2}}{c}\right).

Passo 2

Vamos lembrar (e entender) as propriedades dos logaritmos que vamos usar. Seja \log o logaritmo na mesma base em todas as expressões. Três regras fundamentais:
  1. Produto: ao multiplicar números, o logaritmo vira soma.
\log(xy)=\log x + \log y.
Intuição rápida: log dá o expoente; multiplicar duas potências soma os expoentes.
  1. Potência: o expoente sai como fator.
\log(x^{k})=k\log x.
Intuição: elevar x a k multiplica o expoente por k.
  1. Quociente: dividir vira subtrair logs.
\log\!\left(\frac{x}{y}\right)=\log x - \log y.
Essas três regras vêm direto das regras de potências e da definição de logaritmo.

Passo 3

Aplicando as regras ao nosso caso, primeiro usamos a regra do quociente e do produto:
\log\!\left(\frac{a\cdot b^{2}}{c}\right)=\log(a\cdot b^{2})-\log c.
Em seguida, aplicamos a regra do produto na parte \log(a\cdot b^{2}):
\log(a\cdot b^{2})=\log a + \log(b^{2}).

Passo 4

Agora aplicamos a regra da potência em \log(b^{2}):
\log(b^{2})=2\log b.
Substituindo nas identidades anteriores:
\log\!\left(\frac{a\cdot b^{2}}{c}\right)=\log a + 2\log b - \log c.

Passo 5

Substituímos os valores dados: \log a=5, \log b=3, \log c=2.
\log\!\left(\frac{a\cdot b^{2}}{c}\right)=5 + 2\cdot 3 - 2.
Fazendo as contas passo a passo:
2\cdot 3 = 6,
5 + 6 = 11,
11 - 2 = 9.

Resposta

9

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