Determine o valor de C para que as seguintes funções representem densidades de probabilidade:

Passo 1

Beleza, a ideia aqui é achar o valor de C para que
f(x)= Cl(a x^3-a x^2r), & 1á
seja uma densidade de probabilidade. Isso faz parte de Estatística/Probabilidade e envolve, basicamente, integração para normalizar a função. Para resolver, a gente vai precisar lembrar que uma densidade tem que “somar” (integrar) 1 em todo o eixo real.

Passo 2

Teoria rápida:
  1. Uma função f(x) é densidade de probabilidade se ela for não‐negativa e se
integral-infty^infty f(x),dx = 1
  1. Como f(x)=0 fora de 1, a condição vira
integral1^3 Cl(a x^3-a x^2r),dx = 1
É só isso que a gente vai usar.

Passo 3

Vamos calcular a integral passo a passo:
integral1^3 Cl(a x^3-a x^2r),dx = C,a integral1^3 l(x^3-x^2r),dx
Agora, separar os termos dentro da integral:
integral1^3 (x^3 - x^2),dx = integral1^3 x^3,dx ;-;integral1^3 x^2,dx
Calculando cada uma:
  • integral x^3,dx = x^44, então de 1 a 3 dá x^44|1^3 = 3^44-1^44 = 814-14=804=20
    - integral x^2,dx = x^33, então
    x^33|1^3 = 273-13 = 9-13 = 263

Passo 4

Substituindo esses resultados:
integral1^3 (x^3 - x^2),dx = 20 - 263 = 603 - 263 = 343
Então a condição de normalização vira
C,a cdot 343 = 1 Longrightarrow C = 1acdot334 = 334,a

Resposta

boxedC = 334,a

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