Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas, com reposição, e defina a v.a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X . Calcule a média, E(X), e o desvio padrão, DP(X).

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. Temos uma urna com 3 bolas vermelhas e 5 pretas, e a gente vai tirar 3 bolas, sempre com reposição. A variável aleatória é o número de bolas pretas que saem nessas 3 retiradas. O conteúdo envolvido aqui é distribuição binomial (porque cada retirada é independente e tem só dois resultados: preta ou não), mais as fórmulas de média e desvio padrão dessa distribuição.

Passo 2

Como cada retirada é com reposição, as tentativas são independentes e cada uma tem probabilidade p = 53+5 = 58 de sair preta:
P(X=k)=binom3kl(tfrac58r)^kl(tfrac38r)^3-k, k=0,1,2,3
O número de tentativas é . Logo e vale usar a fórmula

Passo 3

Vamos escrever explicitamente a distribuição de probabilidade:
Para P(X=k)=binom3kl(tfrac58r)^kl(tfrac38r)^3-k ,
Isso significa, por exemplo,
  • ,
  • ,
    e por aí vai. A ideia vem da fórmula da binomial, que conta quantas formas de escolher acertos em tentativas.

Passo 4

Agora a média de uma binomial é
E(X)=n,p = 3cdot 58 = 158
Isso vem da propriedade .

Passo 5

A variância de Var(X)=n,p,(1-p) = 3cdot 58cdot38 = 4564 na binomial é
DP(X)=raizVar(X) = raiz4564 = raiz458 = 3raiz58
E o desvio padrão é a raiz da variância:

Resposta

Distribuição:
P(X=k)=binom3kl(tfrac58r)^kl(tfrac38r)^3-k, k=0,1,2,3
Média:
Desvio padrão:

Exercícios relacionados