Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas, com reposição, e defina a v.a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X . Calcule a média,
, e o desvio padrão,
.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. Temos uma urna com 3 bolas vermelhas e 5 pretas, e a gente vai tirar 3 bolas, sempre com reposição. A variável aleatória
é o número de bolas pretas que saem nessas 3 retiradas. O conteúdo envolvido aqui é distribuição binomial (porque cada retirada é independente e tem só dois resultados: preta ou não), mais as fórmulas de média e desvio padrão dessa distribuição.
Passo 2
Como cada retirada é com reposição, as tentativas são independentes e cada uma tem probabilidade
de sair preta:
O número de tentativas é
. Logo
e vale usar a fórmula
Passo 3
Vamos escrever explicitamente a distribuição de probabilidade:
Para ,
Para
Isso significa, por exemplo,
-
, -
,
e por aí vai. A ideia vem da fórmula da binomial, que conta quantas formas de escolheracertos em tentativas.
Passo 4
Agora a média de uma binomial é
Isso vem da propriedade
.
Passo 5
A variância de
na binomial é
E o desvio padrão é a raiz da variância:
Resposta
Distribuição:
Média:
Desvio padrão:
Desvio padrão: