Determine o valor da constante c que tornam as seguintes forças conservativas:
F=l zy+J c x zy^2+k xy

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z) = zy,i + c,xzy^2,j + xy,k
e pede o valor de c que torna F conservativo. Para isso, vamos usar o critério de que um campo é conservativo em um domínio simplesmente conexo se e somente se seu rotacional é o vetor nulo:
nabla times F = 0

Passo 2

Escrevemos as componentes de nablatimesF. Sejam
P = zy, Q = c,xzy^2, R = xy
Então
nabla times F = l(partial Rpartial y-partial Qpartial zr)i + l(partial Ppartial z-partial Rpartial xr)j + l(partial Qpartial x-partial Ppartial yr)k

Passo 3

Calculamos a componente em i:
partial Rpartial y = partialpartial yl(xyr) = -,xy^2, partial Qpartial z = partialpartial zl(c,xzy^2r) = c,xy^2
Logo,
partial Rpartial y-partial Qpartial z = l(-1 - cr)xy^2
Para anular essa componente em todo o domínio (com x,yneq0), exige-se
-1 - c = 0 Longrightarrow c = -1

Passo 4

Precisamos checar as outras duas componentes para ver se c=-1 também as anula:
  1. Componente em j:
partial Ppartial z = 1y, partial Rpartial x = 1y, partial Ppartial z-partial Rpartial x = 0
  1. Componente em k:
partial Qpartial x = c,zy^2, partial Ppartial y = partialpartial yl(zyr) = -,zy^2,
partial Qpartial x-partial Ppartial y = l(c+1r)zy^2,
e novamente para zerar precisamos de c+1=0, isto é, c=-1. Assim, todas as componentes do rotacional se anulam simultaneamente.

Resposta

O valor da constante é
c = -1

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