Determine o valor da constante k para que a função g(x) seja contínua em todo o domínio real:
g(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}-9}{x-3}, & \text { se } x \neq 3 \\\ k, & \text { se } x=3\end{cases}

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
g(x)= \begin{cases}\dfrac{x^{2}-9}{x-3}, & \text{se } x\neq 3,\\[6pt] k, & \text{se } x=3.\end{cases}
A pergunta é: determinar o valor da constante \,k para que g seja contínua em todo o domínio real.
Informações relevantes dadas:
  • Para x\neq 3 a função é a razão \dfrac{x^{2}-9}{x-3}.
  • Em x=3 o valor de g é definido como k (número desconhecido).
  • Para ser contínua em todo \mathbb{R} é necessário, em particular, que g seja contínua em x=3 (já que para x\neq3 a expressão racional é contínua onde o denominador não é zero).]

Passo 2

Relembrando o conceito que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapa): uma função g é contínua em um ponto a se e somente se as três condições seguintes forem satisfeitas:
  1. g(a) está definido.
  2. \displaystyle\lim_{x\to a} g(x) existe.
  3. \displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=g(a).
Para o nosso caso com a=3:
  • A condição (1) é satisfeita se escolhermos algum k (já que g(3)=k está definido para qualquer k).
  • Precisamos calcular a condição (2): o limite \displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{x^{2}-9}{x-3}.
  • Por fim ajustamos k para que a igualdade (3) valha: k=\displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{x^{2}-9}{x-3}.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão para x\neq 3. Observa-se que o numerador é uma diferença de quadrados; fatorando:
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
Substituindo no quociente e lembrando que estamos em x\neq 3 (portanto podemos cancelar x-3):
\frac{x^{2}-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\qquad\text{para }x\neq 3.

Passo 4

Como para x\neq 3 a função coincide com x+3, o limite à medida que x se aproxima de 3 é o mesmo que o limite de x+3 em 3. Funções polinomiais são contínuas em todo lugar, então podemos apenas substituir x=3:
\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-9}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x+3)=3+3=6.

Passo 5

Agora aplicamos a condição de continuidade no ponto x=3: é necessário que o valor da função nesse ponto (ou seja, g(3)=k) seja igual ao limite que acabamos de calcular. Logo devemos ter
k=\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-9}{x-3}=6.

Passo 6

Interpretação didática e dica para a prova: a função original tem uma “removable discontinuity” (descontinuidade removível) em x=3 porque a expressão simplifica para x+3 e apresenta um “buraco” em x=3. Para remover o buraco e tornar a função contínua basta definir k igual ao valor da função simplificada em x=3. No exame, ao ver uma fração com um fator comum no numerador e denominador, tente fatorar e cancelar; se o limite existir finito, escolha k igual a esse limite.

Passo 7

Verificação final rápida: com k=6 tem-se g(3)=6 e \lim_{x\to 3}g(x)=6, então as três condições de continuidade em x=3 ficam satisfeitas. Para x\neq 3 a função é x+3, contínua. Logo com k=6 g é contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

k=6

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