Verifique o comportamento da função (limite infinito) quando
se aproxima de 2 :
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar o comportamento da função (limite infinito) quando
se aproxima de
.
Informações relevantes do enunciado:
- A função está definida para todo
tal que (pois em o denominador é zero). - A tarefa é analisar o comportamento de
quando ; isso inclui os limites laterais e e o limite geral (no sentido de limite que pode ser infinito).
Passo 2
O que significa dizer que o limite é
?
Definição prática (forma epsilon-para-infinito): dizer que
Definição prática (forma epsilon-para-infinito): dizer que
significa: para todo número
existe
tal que, sempre que
, vale
.
Aqui:
Aqui:
-
é qualquer número grande positivo que eu queira (por exemplo , , , …). -
é a distância na variável dentro da qual excede .
Em palavras:cresce sem limite quando se aproxima de .
Passo 3
Observação algebraica simples para a nossa função. Faça a substituição
. Quando
temos
. Reescrevendo:
Agora note duas coisas importantes:
-
para todo , e somente quando . - Se
tende para com , então tende para e permanece positivo (ou seja, tende para ).
Como o numerador é(constante positiva) e o denominador tende para , a fração tende para .
Passo 4
Análise dos limites laterais usando a propriedade do quadrado:
- Para
(aproximação pela esquerda) temos , mas . Logo é positivo e cresce sem limite quando diminui. - Para
(aproximação pela direita) temos e o mesmo raciocínio vale: e .
Portanto ambos os limites laterais são.
Passo 5
Ilustração numérica rápida (para sentir a ideia):
Vê-se que quanto mais perto de
(pela esquerda ou pela direita), maiores ficam os valores de
.
Passo 6
Prova formal no estilo definição-para-infinito (curta): seja dado
. Escolha
Se
então
, portanto
Isso mostra, pela definição, que
.
Passo 7
Interpretação final e observação gráfica: a função cresce sem limite (vai para
) quando
se aproxima de
vindO de qualquer lado. Em termos de assíntotas,
é uma assíntota vertical da função.