Verifique o comportamento da função (limite infinito) quando x se aproxima de 2 :
f(x)=\frac{1}{(x-2)^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{1}{(x-2)^{2}}
e pede para verificar o comportamento da função (limite infinito) quando x se aproxima de 2.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função está definida para todo x tal que x\neq 2 (pois em x=2 o denominador é zero).
  • A tarefa é analisar o comportamento de f(x) quando x\to 2; isso inclui os limites laterais \lim_{x\to2^-}f(x) e \lim_{x\to2^+}f(x) e o limite geral \lim_{x\to2}f(x) (no sentido de limite que pode ser infinito).

Passo 2

O que significa dizer que o limite é +\infty?
Definição prática (forma epsilon-para-infinito): dizer que
\lim_{x\to a} g(x)=+\infty
significa: para todo número M>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, vale g(x)>M.
Aqui:
  • M é qualquer número grande positivo que eu queira (por exemplo 10, 1000, 10^{6}, …).
  • \delta é a distância na variável x dentro da qual g(x) excede M.
    Em palavras: g(x) cresce sem limite quando x se aproxima de a.

Passo 3

Observação algebraica simples para a nossa função. Faça a substituição h=x-2. Quando x\to2 temos h\to0. Reescrevendo:
f(x)=\frac{1}{(x-2)^{2}}=\frac{1}{h^{2}}.
Agora note duas coisas importantes:
  • h^{2}\ge 0 para todo h, e h^{2}=0 somente quando h=0.
  • Se h tende para 0 com h\neq 0, então h^{2} tende para 0 e permanece positivo (ou seja, tende para 0^{+}).
    Como o numerador é 1 (constante positiva) e o denominador h^{2} tende para 0^{+}, a fração 1/h^{2} tende para +\infty.

Passo 4

Análise dos limites laterais usando a propriedade do quadrado:
  • Para x\to 2^{-} (aproximação pela esquerda) temos h=x-2<0, mas h^{2}>0. Logo 1/h^{2} é positivo e cresce sem limite quando |h| diminui.
  • Para x\to 2^{+} (aproximação pela direita) temos h>0 e o mesmo raciocínio vale: h^{2}\to0^{+} e 1/h^{2}\to+\infty.
    Portanto ambos os limites laterais são +\infty.

Passo 5

Ilustração numérica rápida (para sentir a ideia):
x=1,9\Rightarrow x-2=-0,1,\quad (x-2)^{2}=0,01,\quad f(x)=\frac{1}{0,01}=100.
x=1,99\Rightarrow (x-2)^{2}=0,0001,\quad f(x)=10000.
x=2,1\Rightarrow (x-2)^{2}=0,01,\quad f(x)=100.
x=2,01\Rightarrow (x-2)^{2}=0,0001,\quad f(x)=10000.
Vê-se que quanto mais perto de 2 (pela esquerda ou pela direita), maiores ficam os valores de f(x).

Passo 6

Prova formal no estilo definição-para-infinito (curta): seja dado M>0. Escolha
\delta=\frac{1}{\sqrt{M}}.
Se 0<|x-2|<\delta então |x-2|<\frac{1}{\sqrt{M}}, portanto
(x-2)^{2}<\frac{1}{M}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{(x-2)^{2}}>M.
Isso mostra, pela definição, que \lim_{x\to2}\dfrac{1}{(x-2)^{2}}=+\infty.

Passo 7

Interpretação final e observação gráfica: a função cresce sem limite (vai para +\infty) quando x se aproxima de 2 vindO de qualquer lado. Em termos de assíntotas, x=2 é uma assíntota vertical da função.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to2^-}\frac{1}{(x-2)^{2}}=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to2^+}\frac{1}{(x-2)^{2}}=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^{2}}=+\infty

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