Determine o valor da constante k para que as funções abaixo sejam contínuas no ponto indicado:
g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\operatorname{sen} x}{x}, & \text { se } x \neq 0 \\\ k, & \text { se } x=0\end{array}\right. em x=0

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
g(x)=\begin{cases} \dfrac{\sin x}{x}, & \text{se } x\neq 0,\\[6pt] k, & \text{se } x=0. \end{cases}
O que nos pedem: determinar o valor da constante k para que g seja contínua em x=0.
Informações relevantes:
  • Para x\neq0 temos a expressão \dfrac{\sin x}{x}.
  • Em x=0 o valor da função é k (constante a ser determinada).
  • Precisamos usar a definição de continuidade num ponto: a função é contínua em x=0 se e só se \lim_{x\to0} g(x)=g(0).]

Passo 2

Lembrete importante (definição de continuidade que vou usar): uma função f é contínua em a se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
No nosso caso devemos calcular \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x} e então igualar esse limite a g(0)=k. Ou seja, continuidade em 0 exige
k=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}.

Passo 3

Vamos calcular \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}. Um caminho clássico e elementar é usar a desigualdade trigonométrica conhecida (proveniente de comparações de áreas no círculo unitário): para 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale
\sin x \le x \le \tan x.
Dividindo por \sin x>0 obtemos
1 \le \frac{x}{\sin x} \le \frac{1}{\cos x}.
Invertendo os termos (tomando recíproco, que inverte desigualdades em quantidades positivas) resulta
\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1\qquad\text{para }0<x<\tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

A desigualdade do Passo 3 mostra que, para x positivo e próximo de 0, \dfrac{\sin x}{x} fica “espremido” entre \cos x e 1. Como
\lim_{x\to0}\cos x=1,
pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) segue que
\lim_{x\to0^+}\frac{\sin x}{x}=1.
Para x<0 usamos que \dfrac{\sin x}{x} é uma função par (pois \sin(-x)=-\sin x e o quociente resulta o mesmo), logo o limite pela esquerda é igual ao limite pela direita. Portanto
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 5

Voltando à condição de continuidade: precisamos que k=\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}. Como o limite é 1, devemos escolher
k=1.
Assim a função fica contínua em x=0.

Resposta

k=1

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