Calcule os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a
da expressão
Informações dadas e o que é pedido:
- A variável
tende para . - A função cujo limite queremos é
. - Precisamos encontrar um número real que seja o valor do limite quando
.
Passo 2
Observação importante sobre sinais e operações que faremos (para não tropeçar depois): para
tendendo a
temos que, a partir de algum ponto,
. Portanto
quando
é suficientemente grande. Vou usar isso para manipular
de forma segura.
Passo 3
Reescrever
de forma que possamos comparar com
. Use a fatoração por
dentro da raiz:
Como
e, portanto,
para
grandes, temos
. Logo
Passo 4
Substituindo essa expressão no quociente original e simplificando por
(válido porque para
grande
), obtemos:
Passo 5
Agora calculamos os limites das partes que aparecem. Primeiro note que
A função
é contínua para argumentos positivos, então
E também
Passo 6
Como o numerador tende a
e o denominador tende a
(que é diferente de zero), o limite do quociente é o quociente dos limites. Portanto