Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a +\infty da expressão
\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+2}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A variável x tende para +\infty.
  • A função cujo limite queremos é \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+2}.
  • Precisamos encontrar um número real que seja o valor do limite quando x\to+\infty.

Passo 2

Observação importante sobre sinais e operações que faremos (para não tropeçar depois): para x tendendo a +\infty temos que, a partir de algum ponto, x>0. Portanto |x|=x quando x é suficientemente grande. Vou usar isso para manipular \sqrt{x^2+1} de forma segura.

Passo 3

Reescrever \sqrt{x^{2}+1} de forma que possamos comparar com x. Use a fatoração por x^2 dentro da raiz:
\sqrt{x^{2}+1}=\sqrt{x^{2}\!\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)}=\\ |x|\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}.
Como x\to+\infty e, portanto, x>0 para x grandes, temos |x|=x. Logo
\sqrt{x^{2}+1}=x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 4

Substituindo essa expressão no quociente original e simplificando por x (válido porque para x grande x\neq0), obtemos:
\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+2} = \frac{x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}}{x\left(1+\dfrac{2}{x}\right)} = \frac{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}}{1+\dfrac{2}{x}}.

Passo 5

Agora calculamos os limites das partes que aparecem. Primeiro note que
\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0.
A função \sqrt{\cdot} é contínua para argumentos positivos, então
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}=\sqrt{1+0}=1.
E também
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{2}{x}\right)=1+0=1.

Passo 6

Como o numerador tende a 1 e o denominador tende a 1 (que é diferente de zero), o limite do quociente é o quociente dos limites. Portanto
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+2}=\frac{1}{1}=1.

Resposta

1

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