Determine o valor da constante k para que as funções abaixo sejam contínuas no ponto indicado:
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+3 x, & \text { se } x<2 \\\ k x-1, & \text { se } x \geq 2\end{array}\right. em x=2

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} x^{2}+3x, & \text{se } x<2,\\[4pt] kx-1, & \text{se } x\ge 2, \end{cases}
e pede para determinar o valor da constante k de modo que a função seja contínua em x=2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão para x<2 é x^{2}+3x.
  • A expressão para x\ge 2 é kx-1.
  • O ponto onde precisa haver continuidade é x=2.]

Passo 2

Definição prática que vamos usar (explicada passo a passo): dizer que f é contínua em x=2 significa que o limite da função quando x se aproxima de 2 pela esquerda, o limite quando x se aproxima de 2 pela direita e o valor da função em 2 são todos iguais. Em símbolos:
\lim_{x\to 2^-} f(x) = \lim_{x\to 2^+} f(x) = f(2).
  • Aqui \lim_{x\to 2^-} f(x) é o limite vindo de valores menores que 2 (usa-se a expressão para x<2).
  • \lim_{x\to 2^+} f(x) é o limite vindo de valores maiores que 2 (usa-se a expressão para x\ge 2).
  • f(2) é definido pela segunda parte, já que 2 pertence ao intervalo x\ge 2.

Passo 3

Calcular o limite à esquerda \lim_{x\to 2^-} f(x). Como para x<2 temos f(x)=x^{2}+3x, e essa é uma expressão polinomial (continua por substituição), basta substituir x=2:
\lim_{x\to 2^-} f(x)=2^{2}+3\cdot 2.
Agora a conta, passo a passo:
2^{2}=4,\qquad 3\cdot 2=6,\qquad 4+6=10.
Portanto
\lim_{x\to 2^-} f(x)=10.

Passo 4

Calcular o limite à direita \lim_{x\to 2^+} f(x) e o valor f(2). Para x\ge 2 temos f(x)=kx-1, que também é contínua por substituição, então:
\lim_{x\to 2^+} f(x)=k\cdot 2 - 1 = 2k-1.
E o valor da função em 2 é, pela definição da parte x\ge 2,
f(2)=2k-1.
Então tanto o limite pela direita quanto f(2) valem 2k-1.

Passo 5

Impor a condição de continuidade: igualar o limite à esquerda (que encontramos) ao limite à direita (igual ao valor em 2):
10 = 2k-1.
Resolver essa equação passo a passo:
10+1=2k,
11=2k,
k=\frac{11}{2}.
Verificação rápida: com k=\frac{11}{2} temos 2k-1=11-1=10, que coincide com o limite à esquerda. Logo a função fica contínua em x=2.

Resposta

k=\dfrac{11}{2}

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