Determine o valor da constante
para que as funções abaixo sejam contínuas no ponto indicado:
em
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede para determinar o valor da constante
de modo que a função seja contínua em
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão para
é . - A expressão para
é . - O ponto onde precisa haver continuidade é
.]
Passo 2
Definição prática que vamos usar (explicada passo a passo): dizer que
é contínua em
significa que o limite da função quando
se aproxima de
pela esquerda, o limite quando
se aproxima de
pela direita e o valor da função em
são todos iguais. Em símbolos:
- Aqui
é o limite vindo de valores menores que (usa-se a expressão para ). -
é o limite vindo de valores maiores que (usa-se a expressão para ). -
é definido pela segunda parte, já que pertence ao intervalo .
Passo 3
Calcular o limite à esquerda
. Como para
temos
, e essa é uma expressão polinomial (continua por substituição), basta substituir
:
Agora a conta, passo a passo:
Portanto
Passo 4
Calcular o limite à direita
e o valor
. Para
temos
, que também é contínua por substituição, então:
E o valor da função em
é, pela definição da parte
,
Então tanto o limite pela direita quanto
valem
.
Passo 5
Impor a condição de continuidade: igualar o limite à esquerda (que encontramos) ao limite à direita (igual ao valor em
):
Resolver essa equação passo a passo:
Verificação rápida: com
temos
, que coincide com o limite à esquerda. Logo a função fica contínua em
.