Determine o valor da A=cotg x-1cossec x-sec x, dado que cos x=12.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de
A=cot x-1csc x-sec x
sabendo que cos x=tfrac12. O conteúdo usado será identidades trigonométricas e simplificação de frações.

Passo 2

Vamos lembrar as definições:
  • cot x=dfraccos xsin x
  • sec x=dfrac1cos x
  • csc x=dfrac1sin x

Passo 3

Usando a identidade pitagórica, encontramos sin x:
sin x=pmraiz1-cos^2x=pmraiz1-l(tfrac12r)^2=pmtfracraiz32
Como veremos, o sinal não altera o resultado final.

Passo 4

Calculamos agora cada função trigonométrica:
  • cot x=dfraccos xsin x=dfractfrac12pmtfracraiz32=pmtfrac1raiz3=pmtfracraiz33
  • csc x=dfrac1sin x=pmdfrac2raiz3=pmtfrac2raiz33
  • sec x=dfrac1cos x=2

Passo 5

Substituindo em A temos:
A=l(pmtfracraiz33r)-1l(pmtfrac2raiz33r)-2 =pmtfracraiz3-33pmtfrac2raiz3-63 =raiz3-32raiz3-6 =raiz3-32(raiz3-3) =tfrac12

Passo 6

Portanto, para qualquer escolha de sinal de sin x, o resultado final é sempre tfrac12.

Resposta

\tfrac12

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